Question

抛物线y=

3

4

x²+

9

4

x-3与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，A点在左边，若点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、F、P为顶点，且以AC为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：本题应分情况讨论：
①过C作x轴的平行线，与抛物线的交点符合P点的要求，此时P、C的纵坐标相同，代入抛物线的解析式中即可求出P点坐标；
②将AC平移，令C点落在x轴（即E点）、A点落在抛物线（即P点）上；可根据平行四边形的性质，得出P点纵坐标（P、C纵坐标的绝对值相等），代入抛物线的解析式中即可求得P点坐标．

解答：解：如图所示，
①过点C作CP₁∥x轴交抛物线于点P₁，过点P₁作P₁E₁∥AC交x轴于点E₁，此时四边形ACP₁E₁为平行四边形，
∵C（0，-3）
∴设P₁（x，-3）
∴

3

4

x²+

9

4

x-3=0，
解得x₁=0，x₂=-3
∴P₁（-3，-3）；
②平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当AC=PE时，四边形ACEP为平行四边形，
∵C（0，-3）
∴设P（x，3），
∴

3

4

x²+

9

4

x-3=3，
x²+3x-8=0
解得x=

-3+ 41

2

或x=

-3- 41

2

，
此时存在点P₂（

-3+ 41

2

，3）和P₃（

-3- 41

2

，3），
综上所述存在3个点符合题意，坐标分别是P₁（-3，-3），P₂（

-3+ 41

2

，3）和P₃（

-3- 41

2

，3）．

点评：此题考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、平行四边形的判定和性质、二次函数的应用等知识，综合性强，难度较大．