Question

在直角三角形ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，A=10，BD=4，求∠A的正切值．

Answer 1

考点：解直角三角形

专题：计算题

分析：作CE⊥AB于E，如图，根据角平分线的性质的DE=DC，设CD=x，AC=y，则DE=x，再证明Rt△ACD≌Rt△AED得AC=AE=y，则BE=AB-AE=10-y，然后证明Rt△BDE∽Rt△BAC，利用相似比得到x=

2

5

y；接着在Rt△BDE中，根据勾股定理得x²+（10-y）²=4²，则（

2

5

y）²+（10-y）²=4²，解方程得解得y₁=

210

29

，y₂=10（舍去），则x=

84

29

，最后根据正切的定义求解．

解答：解：作CE⊥AB于E，如图，
∵AD平分∠BAC，
∴DE=DC，
设CD=x，AC=y，则DE=x，
在Rt△ACD和△AED中，

DC=DE AD=AD

，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE=y，
∴BE=AB-AE=10-y，
∵∠DBE=∠ABC，
∴Rt△BDE∽Rt△BAC，
∴

DE

AC

=

BD

AB

，即

x

y

=

4

10

，
∴x=

2

5

y，
在Rt△BDE中，
∵DE²+BE²=BD²，
∴x²+（10-y）²=4²，
∴（

2

5

y）²+（10-y）²=4²，
整理得29y²-500y+2100=0，
解得y₁=

210

29

，y₂=10（舍去），
∴x=

2

5

×

210

29

=

84

29

，
在Rt△ABC中，tanA=

BC

AC

=

4+ 84 29

210 29

=

20

21

．

点评：本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了角平分线的性质和相似三角形的判定与性质．