Question

如图，△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD．有下列四个结论：①∠PBC=30°；②AD∥BC；③直线PC与AB垂直；④四边形
ABCD是轴对称图形．其中正确结论的个数为

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

C
分析：延长CP交AB于点E，由等边三角形和等腰直角三角形的性质就可以得出∠PAB=∠PBA=∠APB=∠PDC=∠PCD=∠DPC=60°，∠PAD=∠PDA=45°，∠APD=90°，就可以得出∠BPC=150°，由△ABP≌△CDP据可以得出∠PBC的值，就可以求出∠CEB=90°，也可以求出∠DAB+∠ABC=180°而得出AD∥BC，由AB=CD，AD∥BC就可以得出四边形ABCD是轴对称图形而得出结论．
解答：解：∵△ABP≌△CDP，
∴AB=CD，AP=DP，BP=CP．
∴∠PBC=∠PCB．
∵△ABP与△CDP都是等边三角形，
∴∠PAB=∠PBA=∠APB=∠PDC=∠PCD=∠DPC=60°．
∵PA⊥PD．
∴∠APD=90°，
∴∠PAD=∠PDA=45°．
∵∠APD+∠APB+∠DPC+∠BPC=360°，
∴∠BPC=150°．
∴∠PBC=∠PCB=15°，故①错误；
∵∠EBP+∠PBC+∠PCB+∠CEB=180°，
∴60°+15°+15°+∠CEB=180°，
∴∠CEB=90°，
∴CE⊥AB．故③正确；
∵∠DAP+∠PAB+∠ABP+∠PBC=45°+60°+60°+15°=180°，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∴AD∥BC．故②正确；
∵AB=CD，
∴四边形ABCD是等腰梯形，
∴四边形ABCD是轴对称图形．故④正确．
∴正确的有②③④．
故选C．
点评：本题考查了等边三角形的性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，垂直的性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，解答时根据等边三角形性质求解是关键．