Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，且短轴的长为2，离心率等于。

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若，求证：为定值。

Answer 1

解：（I）设椭圆C的方程为，

则由题意知-------------------------------------------------------2分

解得，--------------------------------------------------------------------4分

∴椭圆C的方程为 ---------------------------------------------------5分

（II）证法1：设A、B、M点的坐标分别为，

易知F点的坐标为（2，0）. ------------------------------------------------------6分

显然直线l的斜率存在，设直线的斜率为k，则直线l的方程是，-----------7分

将直线的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得

------------------------------------------------9分

 -------------------------------------------10分

又

-------12分

【证法二：设点A、B、M的坐标分别为

易知F点的坐标为（2，0）. ------------------------------------------------------6分

∴------------7分

将A点坐标代入到椭圆方程中，得去分母整理得

 --------------------------------------------------------9分

同理，由可得---------------------------------10分

即     是方程                    的两个根，-------------------12分】