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    某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕着矩形ABCD（AB＜BC）的对角线交点O旋转（如图①→②→③），图中M、N分别为直角三角板的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点．

    （1）该学习小组中一名成员意外地发现：在图①（三角板的一直角边与OD重合）中，BN2=CD2+CN2；在图③（三角板的一直角边与OC重合）中，CN2=BN2+CD2．请你对这名成员在图①和图③中发现的结论选择其一说明理由．
    （2）试探究图②中BN、CN、CM、DM这四条线段之间的关系，写出你的结论，并说明理由．
    分析：（1）连接DN，根据矩形得出OB=OD，根据线段垂直平分线得出BN=DN，根据勾股定理求出DN的平方，即可求出答案；
    （2）延长NO交AD于点P，连接PM，MN，证△BNO≌△DPO，推出OP=ON，DP=BN，根据线段垂直平分线求出PM=MN，根据勾股定理求出即可．
    解答：（1）选①，
    证明：连接DN，
    ∵四边形ABCD是矩形，
    ∴OB=OD，
    ∵∠DON=90°，
    ∴BN=DN，
    ∵∠BCD=90°，
    ∴DN2=CD2+CN2，
    ∴BN2=CD2+CN2；

    （2）证明：延长NO交AD于点P，连接PM，MN，
    ∵四边形ABCD是矩形，
    ∴OD=OB，AD∥BC，
    ∴∠DPO=∠BNO，∠PDO=∠NBO，
    在△BON和△DOP中
    ∵
    ∠NBO=∠PDO
    ∠BNO=∠DPO
    OB=OD
    ，
    ∴△BON≌△DOP（AAS），
    ∴ON=OP，BN=PD，
    ∵∠MON=90°，
    ∴PM=MN，
    ∵∠ADC=∠BCD=90°，
    ∴PM2=PD2+DM2，MN2=CM2+CN2，
    ∴PD2+DM2=CM2+CN2，
    ∴BN2+DM2=CM2+CN2．
    点评：本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识点的综合运用，主要考查学生的猜想能力和推理能力，题目比较好，但是有一定的难度．
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    24、某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕矩形ABCD（AB＜BC）的对角线的交点O旋转（①?②?③），图中的M、N分别为直角三角形的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点．
    （1）该学习小组成员意外的发现图①（三角板一直角边与OD重合）中，BN2=CD2+CN2，在图③中（三角板一边与OC重合），CN2=BN2+CD2，请你对这名成员在图①和图③中发现的结论选择其一说明理由．

    （2）试探究图②中BN、CN、CM、DN这四条线段之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由．
    （3）将矩形ABCD改为边长为1的正方形ABCD，直角三角板的直角顶点绕O点旋转到图④，两直角边与AB、BC分别交于M、N，直接写出BN、CN、CM、DM这四条线段之间所满足的数量关系．（不需要证明）

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕着矩形ABCD的对角线交点O旋转（如图所示）．已知AB=8，BC=10，图中M、N分别为直角三角板的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点．问：是否存在某一旋转位置，使得CM+CN等于
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    ？若存在，请求出此时DM的长；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕着矩形ABCD（DC＜BC）的对角线交点O旋转（如图①→②），图中M、N分别为直角三角板的直角边与三角形DBC的边CD、BC的交点．
    （1）在图①（三角板的一直角边与OD重合）中，有CN2+DC2=BN2成立，请说明理由．
    （2）试探究图②中BN、CN、CM、DM这四条线段之间的数量关系，请你用一个等式在横线上直接表示出探究的结论：
    CN2+CM2=DM2+BN2
    CN2+CM2=DM2+BN2
    ．证明你的结论．

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    科目：初中数学 来源：2011-2012学年山东威海市八年级下期末模拟数学试卷（三）（带解析） 题型：解答题

    某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕矩形ABCD（AB＜BC）的对角线的交点O旋转（①→②→③），图中的M、N分别为直角三角形的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点。
    ⑴该学习小组成员意外的发现图①（三角板一直角边与OD重合）中，BN2=CD2+CN2，在图③中（三角板一边与OC重合），CN2=BN2+CD2，请你对这名成员在图①和图③中发现的结论选择其一说明理由。

    ⑵试探究图②中BN、CN、CM、DN这四条线段之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由。

    ⑶将矩形ABCD改为边长为1的正方形ABCD，直角三角板的直角顶点绕O点旋转到图④，两直角边与AB、BC分别交于M、N，直接写出BN、CN、CM、DM这四条线段之 间所满足的数量关系（不需要证明）

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