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    某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕着矩形ABCD（DC＜BC）的对角线交点O旋转（如图①→②），图中M、N分别为直角三角板的直角边与三角形DBC的边CD、BC的交点．
    （1）在图①（三角板的一直角边与OD重合）中，有CN2+DC2=BN2成立，请说明理由．
    （2）试探究图②中BN、CN、CM、DM这四条线段之间的数量关系，请你用一个等式在横线上直接表示出探究的结论：
    CN2+CM2=DM2+BN2
    CN2+CM2=DM2+BN2
    ．证明你的结论．
    分析：（1）作辅助线，连接DN，在Rt△CDN中，根据勾股定理可得：ND2=NC2+CD2，再根据ON垂直平分BD，可得：BN=DN，从而可证：BN2=NC2+CD2．
    （2）作辅助线，延长MO交AB于点E，可证：△BEO≌△DMO，NE=NM，在Rt△BEN和Rt△MCN中，根据勾股定理和对应边相等，可证：CN2+CM2=DM2+BN2．
    解答：解：（1）选择图①证明：连接DN．
    ∵四边形ABCD是矩形，
    ∴BO=DO，∠DCN=90°，
    ∵ON⊥BD，∴NB=ND，
    ∵∠DCN=90°，
    ∴ND2=NC2+CD2，
    ∴BN2=NC2+CD2．

    （2）CM2+CN2=DM2+BN2．
    证明：理由如下：
    延长MO交AB于E，
    ∵四边形ABCD是矩形，
    ∴BO=DO，∠ABC=∠DCB=90°，
    ∵AB∥CD，∴∠ABO=∠CDO，∠BEO=∠DMO，
    ∴△BEO≌△DMO，
    ∴OE=OM，BE=DM，
    ∵NO⊥EM，
    ∴NE=NM，
    ∵∠ABC=∠DCB=90°，
    ∴NE2=BE2+BN2，NM2=CN2+CM2，
    ∴CN2+CM2=BE2+BN2，
    即CN2+CM2=DM2+BN2．
    故答案为：CN2+CM2=DM2+BN2．
    点评：本题考查了图形的旋转变化，在解题过程中要综合应用勾股定理、矩形、正方形的特殊性质及三角形全等的判定等知识．
    练习册系列答案
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    24、某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕矩形ABCD（AB＜BC）的对角线的交点O旋转（①?②?③），图中的M、N分别为直角三角形的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点．
    （1）该学习小组成员意外的发现图①（三角板一直角边与OD重合）中，BN2=CD2+CN2，在图③中（三角板一边与OC重合），CN2=BN2+CD2，请你对这名成员在图①和图③中发现的结论选择其一说明理由．

    （2）试探究图②中BN、CN、CM、DN这四条线段之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由．
    （3）将矩形ABCD改为边长为1的正方形ABCD，直角三角板的直角顶点绕O点旋转到图④，两直角边与AB、BC分别交于M、N，直接写出BN、CN、CM、DM这四条线段之间所满足的数量关系．（不需要证明）

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕着矩形ABCD的对角线交点O旋转（如图所示）．已知AB=8，BC=10，图中M、N分别为直角三角板的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点．问：是否存在某一旋转位置，使得CM+CN等于
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    ？若存在，请求出此时DM的长；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕着矩形ABCD（AB＜BC）的对角线交点O旋转（如图①→②→③），图中M、N分别为直角三角板的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点．

    （1）该学习小组中一名成员意外地发现：在图①（三角板的一直角边与OD重合）中，BN2=CD2+CN2；在图③（三角板的一直角边与OC重合）中，CN2=BN2+CD2．请你对这名成员在图①和图③中发现的结论选择其一说明理由．
    （2）试探究图②中BN、CN、CM、DM这四条线段之间的关系，写出你的结论，并说明理由．

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    科目：初中数学 来源：2011-2012学年山东威海市八年级下期末模拟数学试卷（三）（带解析） 题型：解答题

    某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕矩形ABCD（AB＜BC）的对角线的交点O旋转（①→②→③），图中的M、N分别为直角三角形的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点。
    ⑴该学习小组成员意外的发现图①（三角板一直角边与OD重合）中，BN2=CD2+CN2，在图③中（三角板一边与OC重合），CN2=BN2+CD2，请你对这名成员在图①和图③中发现的结论选择其一说明理由。

    ⑵试探究图②中BN、CN、CM、DN这四条线段之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由。

    ⑶将矩形ABCD改为边长为1的正方形ABCD，直角三角板的直角顶点绕O点旋转到图④，两直角边与AB、BC分别交于M、N，直接写出BN、CN、CM、DM这四条线段之 间所满足的数量关系（不需要证明）

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