Question

某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕着矩形ABCD的对角线交点O旋转（如图所示）．已知AB=8，BC=10，图中M、N分别为直角三角板的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点．问：是否存在某一旋转位置，使得CM+CN等于

44

5

？若存在，请求出此时DM的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：延长NO交AD于点P，连接MN、MP．根据旋转的性质可得OM是PN的中垂线，在Rt△MDP和在Rt△MCN中，利用勾股定理，即可得到BN²+DM²=CN²+CM²，DM=x，CN=y，即可得到x，y的关系式，从而求解．

解答：解：延长NO交AD于点P，连接MN、MP．
由“O为矩形ABCD的对角线交点”，通过全等或旋转对称可得BN=DP，OP=ON．（1分）
∴OM垂直平分PN．∴MP=MN．（2分）
在Rt△MDP中，MP²=DP²+DM²，
在Rt△MCN中，MN²=CN²+CM²，（3分）
又∵MP=MN，BN=DP，
∴BN²+DM²=CN²+CM²．（4分）
若设DM=x，CN=y，则CM=8-x，BN=10-y．
∴（10-y）²+x²=y²+（8-x）²．化简得y=

4

5

x+

9

5

．（6分）
∴CM+CN=8-x+y=8-x+

4

5

x+

9

5

=

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5

-

1

5

x．（7分）
由题意得

49

5

-

1

5

x=

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5

，（8分）
解得x=5．
∴当DM=5时，CM+CN等于

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5

．（9分）

点评：本题主要考查了旋转的性质，以及图形的旋转的性质，根据勾股定理证得BN²+DM²=CN²+CM²是解题的关键．