(2008•石景山区二模)如图.在直角坐标系中.Rt△AOB的顶点坐标分别为A.把△AOB绕点O逆时针方向旋转90°得到△COD.抛物线y=ax2+bx+c经过C.D.B三点．(1)求抛物线的解析式,(2)若抛物线的顶点为P.求△PAB的面积,(3)在抛物线上是否存在一点M.使△MBC的面积等于△PAB的面积.若存在.请写出M点坐标.若不存在.请说明理由� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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（2008•石景山区二模）如图，在直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A（0，2），O（0，0），B（4，0），把△AOB绕点O逆时针方向旋转90°得到△COD（A点转到C点位置），抛物线y=ax²+bx+c经过C、D、B三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为P，求△PAB的面积；
（3）在抛物线上是否存在一点M，使△MBC的面积等于△PAB的面积，若存在，请写出M点坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】分析：（1）在直角△AOB中，根据B，A的坐标就可以求得OB，OA的长，进而求的OC，OD的长，则C，D，B的坐标就可以求出来．根据待定系数法就可以求出抛物线的解析式．
（2）已知抛物线的解析式，就可以求出P的坐标，S_△PAB=S_{四边形PAOB}-S_△AOB=S_{四边形PEOB}-S_△PEA-S_△AOB就可以求出△PAB的面积．
（3）△MBC的底边BC的长度易得，BC边上的高线长就是M的纵坐标的绝对值，设M的纵坐标是y，根据三角形的面积公式就可以得到一个关于y的方程，求出y的值，即得到函数的纵坐标，就可以求出函数的横坐标．
解答：

解：（1）由题意知C（-2，0），D（0，4）
设抛物线解析式为y=ax²+bx+c
当x=0时，y=4，
∴c=4
4a-2b+4=0解之，
得a=-

16a+4b+4=0，
把a=-

代入，解得b=1
∴y=-

x²+x+4．（5分）

（2）y=-

（x-1）²+4

∴P（1，4

）
连接PA、PB，作PE⊥y轴于E
则S_△PAB=S_{四边形PAOB}-S_△AOB
=S_{四边形PEOB}-S_△PEA-S_△AOB
=6．（5分）

（3）设存在M点，其坐标为M（x，y）
则

|y|×6=6，
∴y=±2
当y=2时，-

x²+x+4=2，
解之，得x₁=1+

，x₂=1-

当y=-2时，-

x²+x+4=-2，
解之，得x₁=1+

，x₂=1-

故存在点M，使△MBC的面积等于△PAB的面积，其坐标为：
M₁（1+

，2），M₂（1-

，2），
M₃（1+

，-2），M₄（1-

，-2）．（4分）
点评：本题主要考查了待定系数法求函数解析式，是二次函数与三角形的面积的综合题．

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科目：初中数学 来源：2009年浙江省杭州市萧山区中考模拟数学试卷（临浦镇中2）（解析版） 题型：解答题

（2008•石景山区一模）平面直角坐标系中有一张矩形纸片OABC，O为坐标原点，A点坐标为（10，0），C点坐标为（0，6），D是BC边上的动点（与点B、C不重合）．如图②，将△COD沿OD翻折，得到△FOD；再在AB边上选取适当的点E，将△BDE沿DE翻折，得到△GDE，并使直线DG，DF重合．
（1）图①中，若△COD翻折后点F落在OA边上，求直线DE的解析式；
（2）设（1）中所求直线DE与x轴交于点M，请你猜想过点M、C且关于y轴对称的抛物线与直线DE的公共点的个数，在图①的图形中，通过计算验证你的猜想；
（3）图②中，设E（10，b），求b的最小值．