Question

（1）已知：如图，B、E、F、C四点在同一条直线上，AB=DC，BE=CF，∠B=∠C．求证：OA=OD．

（2）如图，已知AB是⊙O的直径，BC是弦，∠ABC=30°．过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，求∠DCB的度数．

Answer 1

解：（1）∵BE=CF，
∴BF=CE，
在△ABF与△DCE中，
∵AB=DC，BF=CE，∠B=∠C，
∴△ABF≌△DCE，
∴AF=DE，∠AFB=∠DEC，
∴OE=OF，
∴OA=OD；

（2）连接OC，
∵∠ABC=30°，OB=OC，
∴∠BCO=30°，
∴∠1+∠2=120°，
∵OD⊥BC，
∴∠1=∠2=60°，
∵OD=OC，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠DCB=30°．
分析：（1）先根据AB=DC，BE=CF，∠B=∠C求出△ABF≌△DCE，可得出AF=DE，∠AFB=∠DEC，由等腰三角形的判定定理可知OE=OF，进而可得出结论；
（2）连接OC，先根据圆周角定理可得出∠3=2∠ABC=60°，由于OC=OB，∠ABC=30°，所以∠BCO=30°，由三角形内角和定理可求出∠1+∠2的度数，由垂径定理可得出∠1=∠2=60°，可判断出△OCD是等边三角形，故可求出∠DCB的度数．
点评：本题考查的是圆周角定理、垂径定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理，涉及面较广，难度适中．