Question

15．顶角为36°的等腰三角形被叫做“黄金三角形”，如图所示，△ABC为顶角为36°等腰三角形．BD为∠ABC的平分线，过点D作BC的平行线交AB于点E  
（1）图中共有等腰三角形5个；
（2）等腰三角形ABC中，腰AB与底边BC的比值是$\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）根据三角形内角和定理及外角的性质可求出图中所有角的度数，运用等角对等边判定三角形的形状即可；
（2））设BC=x，则BD=AD=x，CD=AB-x，根据（1）得出△ABC∽△BCD，再根据相似的性质得出AB=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$x，从而得出答案．

解答 解：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=（180°-36°）÷2=72°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=36°，
∵DE∥BC，
∴∠DBC=∠BDE=36°，∠AED=∠ABC，∠ADE=∠ACB，
∴∠A=∠ABD，
∠BDE=∠ABD=72°，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AD=BD，BE=ED，AE=AD，
∴△ABD、△BDE、△AED是等腰三角形；
∵∠BDC=2∠A=72°，
∴∠BDC=∠BCD，
∴△BCD是等腰三角形，
∴图中等腰三角形有：△ABC，△ABD，△BDE，△AED，△BCD，共5个；

（2）设BC=x，则BD=AD=x，CD=AB-x，
∵△ABC∽△BCD，
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{BC}{CD}$，
∴$\frac{AB}{x}$=$\frac{x}{AB-x}$，
∴AB=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$x或AB=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$x（舍去），
∴等腰三角形ABC中，腰AB与底边BC的比值是$\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$；
故答案为：5，$\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$；

点评 此题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．