Question

8．△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过O作EF∥BC分别交AB、AC于E、F．
（1）说明：OF与CF的大小关系；
（2）猜想：BE、CF、EF之间存在何种数量关系？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由BE=EO，根据等边对等角，可得∠EBO=∠EOB，又由△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，可得∠EBO=∠OBC，即可判定EF∥BC，则可证得∠FOC=∠OCB=∠OCF，由等角对等边，即可证得OF=CF；
（2）先根据两直线平行内错角相等及角平分线定义，得到∠OBE=∠EOB，根据等角对等边得到EO=BE，同理OF=FC，所以EF=EO+OF=BE+CF．

解答 解：（1）OF=CF．
理由：∵BE=EO，
∴∠EBO=∠EOB，
∵△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，
∴∠EBO=∠OBC，
∴∠EOB=∠OBC，
∴EF∥BC，
∴∠FOC=∠OCB=∠OCF，
∴OF=CF；

（2）EF=BE+CF，
∵BO平分∠ABC，
∴∠EBO=∠OBC，
∵EF∥BC，
∴∠OBC=∠EOB，
∴∠EBO=∠EOB；
∴EO=BE，
同理可得OF=FC，
∴EO+OF=BE+FC，
即EF=BE+CF．

点评 本题考查了角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识点，关键是推出BE=OE，CF=OF．