Question

【题目】如图，已知BF是⊙O的直径，A为⊙O上（异于B、F）一点，⊙O的切线MA与FB的延长线交于点M；P为AM上一点，PB的延长线交⊙O于点C，D为BC上一点且PA=PD，AD的延长线交⊙O于点E．

（1）求证：；

（2）若ED、EA的长是一元二次方程的两根，求BE的长；

（3）若MA=，sin∠AMF=，求AB的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．

【解析】

试题（1）连接OA、OE交BC于T．想办法证明OE⊥BC即可；

（2）由ED、EA的长是一元二次方程的两根，可得EDEA=5，由△BED∽△AEB，可得，推出BE2=DEEA=5，即可解决问题；

（3）作AH⊥OM于H．求出AH、BH即可解决问题；

试题解析：（1）证明：连接OA、OE交BC于T．

∵AM是切线，∴∠OAM=90°，∴∠PAD+∠OAE=90°，∵PA=PD，∴∠PAD=∠PDA=∠EDT，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，∴∠EDT+∠OEA=90°，∴∠DTE=90°，∴OE⊥BC，∴．

（2）∵ED、EA的长是一元二次方程的两根，∴EDEA=5，∵，∴∠BAE=∠EBD，∵∠BED=∠AEB，∴△BED∽△AEB，∴，∴BE2=DEEA=5，∴BE=．

（3）作AH⊥OM于H．在Rt△AMO中，∵AM=，sin∠M==，设OA=m，OM=3m，∴9m2﹣m2=72，∴m=3，∴OA=3，OM=9，易知∠OAH=∠M，∴tan∠OAD==，∴OH=1，AH=．BH=2，∴AB===．