Question

如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=45°，且AC=BC，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线交AB于点C，交AD于点F，连接DE．

求证：∠ADC=∠BDE．

Answer 1

答案：略
解析：

证明：过点B作BH⊥BC交CE的延长线于点H． ∵∠CAD＋∠ACF=90° ∠BCH＋∠ACF=90° ∴∠CAD=∠BCH． 在△ACD和△CBH中， ∴△ACD≌△CBG(ASA)． ∴∠ACD=∠H，CD=BH． ∵CD=BD，∴BD=BH， 又∵∠ABC＋∠EBH=90°，∠ABC=45°， ∴∠EBH=45°∴∠ABC=∠EBH． 在△BED和△BEH中， ∴△BED≌△BEH(SAS) ∴∠BDE=∠H，又∴∠ADC=∠H． ∴∠ADC=∠BDE

提示：

欲证∠ADC=∠BDE，可考虑证明三角形全等，但它们所在的三角形不全等，∠ADC在Rt△ACD中，它的较长直角边为AC，故想到构造一个直角三角形，使它的较长直角边等于AC，想到过点B作BH⊥BC，交CE延长线于点H．