Question

18．n为正整数，方程x²-（$\sqrt{3}$+1）x+$\sqrt{3}$n-6=0有一个整数根，求n．

Answer 1

分析 根据根的判别式可得出△=$（\sqrt{3}）^{2}$+（2-4n）$\sqrt{3}$+5²，再根据方程有一个整数根且n为正整数即可得出关于n的一元一次方程，解方程即可得出结论．

解答 解：在方程x²-（$\sqrt{3}$+1）x+$\sqrt{3}$n-6=0中，
△=$[-（\sqrt{3}+1）]^{2}$-4×（$\sqrt{3}$n-6）=28+（2-4n）$\sqrt{3}$=3+（2-4n）$\sqrt{3}$+25=$（\sqrt{3}）^{2}$+（2-4n）$\sqrt{3}$+5²．
∵方程有一个整数根，且n为正整数，
∴2-4n=-10，
解得：n=3．

点评 本题考查了根的判别式，根据方程有一个整数根结合根的判别式找出关于n的一元一次方程是解题的关键．