Question

8．已知AB是⊙O的直径，BP是⊙O的弦，弦CD⊥AB于点F，交BP于点G，E在CD的延长线上，EP=EG．
（1）求证：直线EP为⊙O的切线；
（2）点P在劣弧$\widehat{AC}$上运动，其他条件不变，若BG²=BF•BO，⊙O的半径为3，sinB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求弦CD的长．

Answer 1

分析 （1）连接OP，只需证明∠OPB+∠EPG=90°即可．
（2）由BG²=BF•BO可得$\frac{BG}{BF}=\frac{BO}{BG}$，又∠GBF=∠OBG，则△BGF∽△OBG，由相似的性质求出OG、BG、BF、OF的值，再由垂径定理即可求出CD的长．

解答 （1）证明：连接OP，如下图所示：
∵OP=OB，∴∠OPB=∠B，
∵EP=EG，∴∠EPG=∠EGP
又∵∠EGP=∠BGF，∠BGF+∠B=90°
∴∠OPB+∠EPG=90°，
又∵OP经过圆心，∴直线EP为⊙O的切线；
（2）解：∵BG²=BF•BO
∴$\frac{BG}{BF}=\frac{BO}{BG}$
又∵∠GBF=∠OBG
∴△BGF∽△OBG
∴∠GFB=∠OGB=90°
在Rt△OGB中．sinB=$\frac{OG}{OB}$=$\frac{OG}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
∴OG=$\sqrt{3}$
由勾股定理得BG=$\sqrt{O{B}^{2}-O{G}^{2}}$=$\sqrt{6}$
由题意可知：BG²=BF•BO
∴BF=$\frac{6}{3}$=2，∴OF=1
连接OD，在Rt△OFD中，FD=2$\sqrt{2}$
∵OF⊥CD，FO经过圆心，
∴FD=FC
∴CD=2FD=4$\sqrt{2}$

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、切线的判定、解直角三角形等知识点，解题的关键是熟练掌握以上各知识点的内容及综合应用，由BG²=BF•BO可得$\frac{BG}{BF}=\frac{BO}{BG}$由此证明△BGF∽△OBG是本题的难点所在．