Question

18．已知△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，AB为⊙O的直径．
（1）当⊙O经过点D，且AC与⊙O相切时，试判断△ABC的形状，并证明你的结论；
（2）当⊙O与△ABC的边有怎样的位置关系时，△ABC是等腰三角形而不是直角三角形？（不用证明）
（3）当⊙O与△ABC的边有怎样的位置关系时，△ABC是等边三角形？请你先把图形画出来再证明．

Answer 1

分析 （1）根据切线的性质定理以及圆周角的性质证明AC⊥AB即可证得；
（2）当满足（1）时是等腰直角三角形，

解答 解：（1）△ABC是等腰直角三角形．
理由是：连接AD．
∵AB是圆的切线，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC．
∵D是BC的中点，
∴AC=AB．
∵AC是切线，AB是直径，
∴AC⊥AB，
∴△ABC是等腰直角三角形；
（2）当圆与AC、BC相交，且D、E中至少有一点在圆上时，△ABC是等腰三角形，而不是直角三角形；
（3）当圆与AC、BC相交，且D、E同时在圆上时，△ABC是等边三角形．
证明：连接DA、EB．
∵AB是圆的切线，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC．
∵D是BC的中点，
∴AC=AB．
同理AB=BC，
∴AB=BC=CA．

点评 本题考查了圆周角的相关知识、线段的垂直平分线的性质和判定．正确理解题意并作出图形是解决本题的关键．