Question

13．如图，⊙O₁和⊙O₂相交于A、B，C为⊙O₁上一点，CA交⊙O₂于D，BD交⊙O₁于F，直线CF交⊙O₂于E、G．
（1）求证：DE²=DF•DB；
（2）求证：DO₂⊥EG；
（3）若DA=3，CA=5，CE=4，试求AE的长．

Answer 1

分析 （1）如图1，证明△EDF∽△BDE，得$\frac{DE}{DB}=\frac{DF}{DE}$，所以DE²=DF•DB；
（2）如图2，根据同弧所对的圆周角相等得：∠DGE=∠EBD，由（1）得∠DEF=∠EBD，则∠DGE=∠DEF，
由圆周角相等则所对的弧相等，再根据垂径定理的推论：过圆心且平分劣弧的直线垂直于弦；
（3）如图3，先由割线定理得：DF•DB=24，由（1）DE²=DF•DB可求得DE的长；再根据四点共圆，对角互补及平角的定义得∠CAE=∠G，证明△CAE∽△CGD，列比例式可求得AE的长．

解答 证明：（1）如图1，连接BE、AB，
∵∠ADE=∠ABE，∠C=∠ABF，
∵∠DEF=∠C+∠ADE，∠EBD=∠ABE+∠ABF，
∴∠DEF=∠EBD，
∵∠EDF=∠BDE，
∴△EDF∽△BDE，
∴$\frac{DE}{DB}=\frac{DF}{DE}$，
∴DE²=DF•DB；
（2）如图2，连接O₂D，
∵∠DGE=∠EBD，∠DEF=∠EBD，
∴∠DGE=∠DEF，
∴$\widehat{ED}$=$\widehat{DG}$，
∴DO₂⊥EG；
（3）如图3，由割线定理得：DF•DB=AD•DC=3×8=24，
∵DE²=DF•DB，
∴DE=$\sqrt{24}$=2$\sqrt{6}$，
∵DG=DE=2$\sqrt{6}$，
∵∠CAE=∠G，∠C=∠C，
∴△CAE∽△CGD，
∴$\frac{CE}{CD}=\frac{AE}{DG}$，
∴$\frac{4}{8}=\frac{AE}{2\sqrt{6}}$，
∴AE=$\sqrt{6}$．

点评 本题是相似形和圆的综合题，两圆相交时，要注意寻找相等的圆周角；此类题的解题思路为：①结论为线段的乘积时，将四条线段写成比例式，证明两三角形相似；②垂直：除了得到90°外，还可以考虑利用垂径定理来解决；③求线段的长时，可以证明所在的三角形相似，列比例式求得，同时与割线定理相结合，解决问题．