【题目】如图,直线y=2x+2交y轴于A点,交x轴于C点,以O,A,C为顶点作矩形OABC,将矩形OABC绕O点顺时针旋转90°,得到矩形ODEF,直线AC交直线DF于G点.
(1)求直线DF的解析式;
(2)求证:GO平分∠CGD;
(3)在角平分线GO上找一点M,使以点G、M、D为顶点的三角形是等腰直角三角形,求出M点坐标.
【答案】(1)y=﹣x+1(2)见解析(3)M点的坐标为(,﹣)和(,﹣).
【解析】
试题分析:(1)根据直线的解析式找出点A、C的坐标,再由旋转的特性找出点D、F的坐标,结合点D、F的坐标利用待定系数法即可求出直线DF的解析式;
(2)过点O作OP⊥AC于点P,作OQ⊥DG于点Q,利用全等直角三角形的判定定理HL证出Rt△OAC≌Rt△ODF和Rt△OPG≌Rt△OQG,由此即可得出∠PGO=∠QGO,从而证出GO平分∠CGD;
(3)根据旋转的性质可得出AC⊥DF,结合(2)的结论即可得出∠OGD=45°,联立直线AC、DF的解析式成方程组,解方程组可得出点G的坐标,根据等腰直角三角形的性质可分两种情况寻找点M的位置,再通过勾股定理解方程等即可得出结论.
解:(1)∵直线y=2x+2交y轴于A点,交x轴于C点,
∴A点的坐标是(0,2),C点的坐标是(﹣1,0),
∵将矩形OABC绕O点顺时针旋转90°,得到矩形ODEF,
∴F点的坐标是(0,1),D点的坐标是(2,0),
设直线DF的解析式是y=kx+1,
∴2k+1=0,
解得k=﹣,
∴直线DF的解析式是:y=﹣x+1.
(2)过点O作OP⊥AC于点P,作OQ⊥DG于点Q,如图1所示.
在Rt△OAC和Rt△ODF中,,
∴Rt△OAC≌Rt△ODF(HL),
又∵OP⊥AC,OQ⊥DG,
∴OP=OQ,
在Rt△OPG和Rt△OQG中,,
∴Rt△OPG≌Rt△OQG(HL),
∴∠PGO=∠QGO,
∴OG平分∠CGD.
(3)∵矩形OABC绕O点顺时针旋转90°,得到矩形ODEF,
∴对角线AC⊥DF,
∵GO平分∠CGD,
∴∠OGD=45°.
解得:,
即点G(﹣,),
∴直线GO为y=﹣3x.
∵D(2,0),
∴GD==,GO==.
以点G、M、D为顶点的三角形是等腰直角三角形分两种情况:
①过D作DM1⊥GO于点M1,则△GM1D是以GD为斜边的等腰直角三角形,过M1作M1H⊥OD于点H,如图2所示.
∵GD=,
∴GM1=DM1=×=.
∵GO=,
∴OM1=GM1﹣GO=﹣=.
设点M1(x,﹣3x),在Rt△OM1H中有,
即x2+(﹣3x)2=,解得:x=或x=﹣(舍去).
∴点M1(,﹣);
②过D作DM2⊥GD交GO于M2,则△GM2D是以GD为直角边的等腰直角三角形,过M2作M2I⊥OD于点I,如图3所示.
∵GD=,
∴GM2=×=,
∵GO=,
∴OM2=GM2﹣GO=﹣=.
设M2(a,﹣3a),在Rt△OM2I中有,
即a2+(﹣3a)2=,解得:a=或a=﹣(舍去),
∴点M2(,﹣).
综上可得:使以点G、M、D为顶点的三角形是等腰直角三角形的M点的坐标为(,﹣)和(,﹣).
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况,了解到该商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件,并以每件120元的价格销售了400件,商场准备采取促销措施,将剩下的衬衫降价销售.请你帮商场计算一下,每件衬衫降价多少元时,销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标?
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】把451000进行科学记数法表示正确的是( )
A. 0.451×106 B. 4.51×105 C. 4.51×106 D. 45.1×104
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】小明从今年1月初起刻苦练习跳远,每个月的跳远成绩都比上一个月有所增加,而且增加的距离相同.2月份,5月份他的跳远成绩分别为4.1m,4.7m.请你算出小明1月份的跳远成绩以及每个月增加的距离.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知:∠MON=30°,点A1、A2、A3…在射线ON上,点B1、B2、B3…在射线OM上,△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形,若OA1=1,则△A6B6A7的边长为( )
A.6 B.12 C.32 D.64
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,四边形ABCD是正方形,△ADF旋转一定角度后得到△ABE,如果AF=4,AB=7.
(1)求BE的长;
(2)在图中作出延长BE与DF的交点G,并说明BG⊥DF.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】兴发服装店老板用4500元购进一批某款T恤衫,由于深受顾客喜爱,很快售完,老板又用4950元购进第二批该款式T恤衫,所购数量与第一批相同,但每件进价比第一批多了9元.
(1)第一批该款式T恤衫每件进价是多少元?
(2)老板以每件120元的价格销售该款式T恤衫,当第二批T恤衫售出时,出现了滞销,于是决定降价促销,若要使第二批的销售利润不低于650元,剩余的T恤衫每件售价至少要多少元?(利润=售价﹣进价)
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com