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【题目】如图,直线y=2x+2交y轴于A点,交x轴于C点,以O,A,C为顶点作矩形OABC,将矩形OABC绕O点顺时针旋转90°,得到矩形ODEF,直线AC交直线DF于G点.

(1)求直线DF的解析式;

(2)求证:GO平分CGD;

(3)在角平分线GO上找一点M,使以点G、M、D为顶点的三角形是等腰直角三角形,求出M点坐标.

【答案】(1)y=﹣x+1(2见解析3)M点的坐标为(,﹣)和(,﹣).

【解析】

试题分析:(1)根据直线的解析式找出点A、C的坐标,再由旋转的特性找出点D、F的坐标,结合点D、F的坐标利用待定系数法即可求出直线DF的解析式;

(2)过点O作OPAC于点P,作OQDG于点Q,利用全等直角三角形的判定定理HL证出RtOACRtODF和RtOPGRtOQG,由此即可得出PGO=QGO,从而证出GO平分CGD;

(3)根据旋转的性质可得出ACDF,结合(2)的结论即可得出OGD=45°,联立直线AC、DF的解析式成方程组,解方程组可得出点G的坐标,根据等腰直角三角形的性质可分两种情况寻找点M的位置,再通过勾股定理解方程等即可得出结论.

解:(1)直线y=2x+2交y轴于A点,交x轴于C点,

A点的坐标是(0,2),C点的坐标是(﹣1,0),

将矩形OABC绕O点顺时针旋转90°,得到矩形ODEF,

F点的坐标是(0,1),D点的坐标是(2,0),

设直线DF的解析式是y=kx+1,

2k+1=0,

解得k=﹣

直线DF的解析式是:y=﹣x+1.

(2)过点O作OPAC于点P,作OQDG于点Q,如图1所示.

在RtOAC和RtODF中,

RtOACRtODF(HL),

OPAC,OQDG,

OP=OQ,

在RtOPG和RtOQG中,

RtOPGRtOQG(HL),

∴∠PGO=QGO,

OG平分CGD.

(3)矩形OABC绕O点顺时针旋转90°,得到矩形ODEF,

对角线ACDF,

GO平分CGD,

∴∠OGD=45°.

得:

即点G(﹣),

直线GO为y=﹣3x.

D(2,0),

GD==,GO==

以点G、M、D为顶点的三角形是等腰直角三角形分两种情况:

①过D作DM1GO于点M1,则GM1D是以GD为斜边的等腰直角三角形,过M1作M1HOD于点H,如图2所示.

GD=

GM1=DM1=×=

GO=

OM1=GM1﹣GO==

设点M1(x,﹣3x),在RtOM1H中有

即x2+(﹣3x)2=,解得:x=或x=﹣(舍去).

点M1,﹣);

②过D作DM2GD交GO于M2,则GM2D是以GD为直角边的等腰直角三角形,过M2作M2IOD于点I,如图3所示.

GD=

GM2=×=

GO=

OM2=GM2﹣GO==

设M2(a,﹣3a),在RtOM2I中有

即a2+(﹣3a)2=,解得:a=或a=﹣(舍去),

点M2,﹣).

综上可得:使以点G、M、D为顶点的三角形是等腰直角三角形的M点的坐标为(,﹣)和(,﹣).

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