Question

20．如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：①PM=PN；②△PMN为等边三角形；下面判断正确是（　　）

• A． ①正确
• B． ②正确
• C． ①②都正确
• D． ①②都不正确

Answer 1

分析 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断①正确；根据直角三角形两锐角互余的性质求出∠ABM=∠ACN=30°，再根据三角形的内角和定理求出∠BCN+∠CBM=60°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BPN+∠CPM=120°，从而得到∠MPN=60°，又由①得PM=PN，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可判断②正确．

解答 解：①∵BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，
∴PM=$\frac{1}{2}$BC，PN=$\frac{1}{2}$BC，
∴PM=PN，正确；
②∵∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，
∴∠ABM=∠ACN=30°，
在△ABC中，∠BCN+∠CBM═180°-60°-30°×2=60°，
∵点P是BC的中点，BM⊥AC，CN⊥AB，
∴PM=PN=PB=PC，
∴∠BPN=2∠BCN，∠CPM=2∠CBM，
∴∠BPN+∠CPM=2（∠BCN+∠CBM）=2×60°=120°，
∴∠MPN=60°，
∴△PMN是等边三角形，正确；
所以①②都正确．
故选：C．

点评 本题主要考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握性质是解题的关键．