Question

6．如图，△ABC中，∠ACB=90°，点O为△ABC的角平分线交点，⊙O经过点C，与△ABC的三边交于点D、E、F、G．
（1）求证：CD=EF=CG；
（2）若AD=9，BF=2，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）作OM⊥DC，ON⊥EF，OH⊥CG，连接OE、OD、OC，根据角的平分线的性质得出OE=OD=OC，进而根据HL证得RT△OME≌RT△OND≌RT△OHC得出ME=ND=HC，然后根据垂径定理即可证得结论；
（2）根据角平分线的性质，进而得出AM=AN，BM=BH，CN=CH，设CD=EF=CG=x，则AM=AN=9+$\frac{1}{2}$x，BM=BH=2+$\frac{1}{2}$x，CN=CH=$\frac{1}{2}$x，进而表示出AB=11+x，AC=9+x，BC=2+x，然后根据勾股定理列出方程，求得即可．

解答 （1）证明：作OM⊥DC，ON⊥EF，OH⊥CG，连接OE、OD、OC，
∵点O为△ABC的角平分线交点，
∴OM=ON=OH，
∵OE=OD=OC，
∴RT△OME≌RT△OND≌RT△OHC（HL），
∴ME=ND=HC，
∵EF=2ME，CD=2ND，CG=2HC，
∴CD=EF=CG；
（2）解：设CD=EF=CG=x，
∵点O为△ABC的角平分线交点，
∴OM=ON=OH，
易证得AM=AN，BM=BH，CN=CH，则AM=AN=9+$\frac{1}{2}$x，BM=BH=2+$\frac{1}{2}$x，CN=CH=$\frac{1}{2}$x，
∴AB=11+x，AC=9+x，BC=2+x，
∵∠ACB=90°，
∴AB²=AC²+BC²，即（11+x）²=（9+x）²+（2+x）²，
解得x=6，
∴EF=6．

点评 本题考查了角平分线的性质和垂径定理，熟练掌握垂径定理和角平分线的性质是解题的关键．