Question

12．如图，在Rt△AOC中，∠A=30°，点O（0，0），C（1，0），点A在y轴正半轴上，以AC为一边作等腰直角△ACP，使得点P在第一象限．
（1）求出所有符合题意的点P的坐标；
（2）在△AOC内部存在一点Q，使得AQ、OQ、CQ之和最小，请求出这个和的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据C（1，0），得到OC=1，解直角三角形得到AC=2，OA=$\sqrt{3}$，如图1，①当AC=AP，∠CAP=90°，过P₁作P₁B⊥y轴于B，②当AC=CP，∠ACP=90°，过P₂作P₂D⊥x轴于D，③当CP=AP，∠APC=90°，过P₃作P₃E⊥x轴于E，解直角三角形即可得到结论；
（2）任取△AOC内一点Q，连接AQ、BQ、CQ，将△ACQ绕点C顺时针旋转60°得到△A′CQ’，于是得到当A′Q′，OQ，QQ′这三条线段在同一直线时最短，即AQ+OQ+CQ的最小值=OA′，过A′作A′B⊥x轴于B，解直角三角形即可得到结论．

解答 解：（1）∵C（1，0），
∴OC=1，
∵在Rt△AOC中，∠A=30°，
∴AC=2，OA=$\sqrt{3}$，
如图1，①当AC=AP，∠CAP=90°，过P₁作P₁B⊥y轴于B，
则△ABP₁≌△COA，
∴AB=OC=1，BP₁=AO=$\sqrt{3}$，
∴OB=1+$\sqrt{3}$，
∴P₁（$\sqrt{3}$，1+$\sqrt{3}$）；
②当AC=CP，∠ACP=90°，过P₂作P₂D⊥x轴于D，
同理可得：CD=OA=$\sqrt{3}$，P₂D=1，
∴P₂（1+$\sqrt{3}$，1）；
③当CP=AP，∠APC=90°，过P₃作P₃E⊥x轴于E，
则P₃是AP₂的中点，
∴OE=$\frac{1}{2}$OD=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，P₃E=$\frac{1}{2}$（OA+P₂D）=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，
∴P₃（$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$）；
综上所述，P（$\sqrt{3}$，1+$\sqrt{3}$），（1+$\sqrt{3}$，1），（$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$）；

（2）如图2，任取△AOC内一点Q，连接AQ、BQ、CQ，
将△ACQ绕点C顺时针旋转60°得到△A′CQ’，
∴A′C=AC=2，CQ=CQ′，AQ=A′Q′，∠ACA′=∠QCQ′=60°，
∴△QCQ′是等边三角形，
∴CQ=QQ′，
∴AQ+OQ+CQ=A′Q′+OQ+QQ’，
∴当A′Q′，OQ，QQ′这三条线段在同一直线时最短，即AQ+OQ+CQ的最小值=OA′，
∵∠ACO=∠ACA′=60°，
∴∠A′CB=60°，
过A′作A′B⊥x轴于B，
∴BC=$\frac{1}{2}$A’C=1，A′B=$\sqrt{3}$，
∴OB=2，
∴A′O=$\sqrt{O{B}^{2}+A′{B}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴AQ、OQ、CQ之和的最小值是$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了轴对称-最短距离问题，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，等边三角形的判定和性质，正确作出图形是解题的关键．