Question

如图，已知A、B两点的坐标分别为（40，0）和（0，30），动点P从点A开始在线段AO上以每秒2个长度单位的速度向原点O运动、动直线EF从x轴开始以每1个单位的速度向上平行移动（即EF∥x轴），并且分别与y轴、线段AB交于点E、F，连接EP、FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．
（1）求t=15时，△PEF的面积；
（2）直线EF、点P在运动过程中，是否存在这样的t，使得△PEF的面积等于160（平方单位）？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
（3）当t为何值时，△EOP与△BOA相似．

Answer 1

分析：（1）由于EF∥x轴，则S_△PEF=

1

2

EF•OE．t=15时，OE=15，关键是求EF．易证△BEF∽△BOA，则

EF

OA

=

BE

BO

，从而求出EF的长度，得出△PEF的面积；
（2）假设存在这样的t，使得△PEF的面积等于160，则根据面积公式列出方程，由根的判别式进行判断，得出结论；
（3）如果△EOP与△BOA相似，由于∠EOP=∠BOA=90°，则只能点O与点O对应，然后分两种情况分别讨论：①点P与点A对应；②点P与点B对应．

解答：解：（1）∵EF∥OA，
∴∠BEF=∠BOA
又∵∠B=∠B，
∴△BEF∽△BOA，（2分）
∴

EF

OA

=

BE

BO

（3分）
当t=15时，OE=BE=15，OA=40，OB=30，
∴EF=

BE×OA

BO

=

15×40

30

=20（4分）
∴S_△PEF=

1

2

EF•OE=

1

2

×20×15=150（平方单位）（5分）

（2）∵△BEF∽△BOA，
∴EF=

BE×OA

BO

=

(30-t)×40

30

（6分）
∴

1

2

×

(30-t)×40

30

×t=160
整理，得t²-30t+240=0（7分）
∵△=30²-4×1×240=-60＜0，∴方程没有实数根．
∴不存在使得△PEF的面积等于160（平方单位）的t值（8分）

（3）当∠EPO=∠BAO时，△EOP∽△BOA（9分）
∴

OP

OA

=

OE

OB

，即

40-2t

40

=

t

30

（10分）
解得，t=12（11分）
当∠EPO=∠ABO时，△EOP∽△AOB（12分）
∴

OP

OB

=

OE

OA

，即

40-2t

30

=

t

40

（13分）
解得，t=

160

11

（14分）
∴当t=12或t=

160

11

时，△EOP∽△BOA（14分）

点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式等知识点，要注意最后一问中，要分对应角的不同来得出不同的对应线段成比例，从而得出运动时间的值．不要忽略掉任何一种情况．