Question

如图，矩形OABC边长OA、OC分别为12cm和6cm，点A、C分别在y轴和x轴上，抛物线y=ax²+bx+c经过点A、B，且18a+c=0．
（1）求抛物线的关系式．
（2）①若点P从A向B移动，速度是1cm/s，同时点Q从B向C移动，速度是2cm/s．移动t秒后，设△PBQ的面积为S，求S与t的函数关系式并写出t的取值范围．
②当S取最大值时，抛物线上是否存在点R，使P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出R的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据矩形的对边相等求出点A、B的坐标，把两点的坐标代入抛物线解析式，再联立18a+c=0，解关于a、b、c的三元一次方程组，然后即可得到抛物线的关系式；
（2）①根据速度的不同，表示出BP、BQ的长度，然后利用三角形的面积公式列式整理即可得到S与t的关系式，根据速度分别求出点P与点Q的运动时间即可得到t取值范围；
②先根据二次函数的最大值问题求出S取最大值时的t的值，从而求出点P与点Q的坐标，再根据平行四边形的对边平行且相等，分QR与PB是对边时，PR与QB是对边时，两种情况求出点Q的坐标，然后代入抛物线解析式进行验证，如果点Q在抛物线上，则存在，否则不存在．
解答：解：（1）∵矩形OABC边长OA、OC分别为12cm和6cm，
∴点A、B的坐标分别为A（0，-12），B（6，-12），
又∵抛物线y=ax²+bx+c经过点A、B，且18a+c=0，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为y=x²-4x-12；

（2）①根据题意，PB=AB-AP=6-t，BQ=2t，
所以，S=PB•BQ=（6-t）×2t=-t²+6t，
即S=-t²+6t，
点P运动的时间为6÷1=6秒，
点Q运动的时间为12÷2=6秒，
所以，t的取值范围是0＜t＜6；

②抛物线上存在点R（3，-18），使P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形．
理由如下：∵S=-t²+6t=-（t-3）²+9，
∴当t=3秒时，S取最大值，
此时，PB=AB-AP=6-t=6-3=3，
BQ=2t=2×3=6，
所以，要使P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形，
（i）当QR与PB是对边时，点R的横坐标是6+3=9，纵坐标是-（12-6）=-6，
所以点R的坐标为（9，-6），
此时×9²-4×9-12=6≠-6，
所以点R不在抛物线上，
（ii）当PR与QB是对边时，点R的横坐标是3，纵坐标是-（12+6）=-18，
所以点R的坐标是（3，-18），
此时，×3²-4×3-12=-18，
所以点R在抛物线上，
综上所述，抛物线上存在点R（3，-18），使P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形．
点评：本题综合考查了二次函数的问题，主要利用了矩形的性质，待定系数法求函数解析式，三角形的面积，二次函数的最大值问题，以及平行四边形的性质，因为平行四边形的对边没有明确，注意分情况讨论求解．