Question

4．已知：如图，AB是⊙O的直径，AB=6，点C，D在⊙O上，且CD平分∠ACB，∠CAB=60°．
（1）求BC及阴影部分的面积；
（2）求CD的长．

Answer 1

分析 （1）根据圆周角定理得出∠ACB=90°，再由锐角三角函数的定义求出BC的长，连接OC，过点C作CE⊥x轴于点E，则可得出CE的长，由阴影部分的面积=S_扇形OBC-S_△OBC即可得出结论；
（2）连接AD，由角平分线的定义求出∠ACD的度数，过点A作AF⊥CD于点F，由锐角三角函数的定义求出AF，CF及DF的长，根据CD=CF+FD即可得出结论．

解答 解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
在Rt△ACB中，
∵∠CAB=60°，AB=6，
∴BC=AB•sin∠CAB=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，∠CBA=30°，
如图1，连接OC，过点C作CE⊥x轴于点E，
在Rt△BCE中，CE=BCsin∠CBA=3$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
阴影部分的面积=S_扇形OBC-S_△OBC=$\frac{120}{360}$×π×9-$\frac{1}{2}$×$\frac{3\sqrt{3}}{2}$×3=3π-$\frac{9\sqrt{3}}{4}$；

（2）连接AD，
∵∠ABC=30°，
∴∠ADC=∠ABC=30°，
在△CAD中，AC=3，∠ACD=45°，
过点A作AF⊥CD于点F，在Rt△AFC中，AF=CF=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
在Rt△AFD中，
∵DF=$\sqrt{3}$AF=$\frac{3\sqrt{6}}{2}$，
∴CD=CF+FD=$\frac{3\sqrt{6}}{2}$+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．