Question

11．如图，已知直线y=-$\frac{1}{2}$x+2与x轴交于点B，与y轴交于点A．过线段AB的中点A₁做A₁B₁⊥x轴于点B₁，过线段A₁B的中点A₂作A₂B₂⊥x轴于点B₂，过线段A₂B的中点A₃作A₃B₃⊥x轴于点B₃…，以此类推，则△A_nB_nB_n-1的面积为（　　）

• A． $\frac{1}{{2}^{n-1}}$
• B． $\frac{1}{{2}^{n}}$
• C． $\frac{1}{{4}^{n-1}}$
• D． $\frac{1}{{4}^{n}}$

Answer 1

分析 根据题意得出OB₁=BB₁=$\frac{1}{2}$OB，A₁B₁=$\frac{1}{2}$OA，B₁B₂=$\frac{1}{2}$BB₁=$\frac{1}{4}$OB，A₂B₂=$\frac{1}{2}$A₁B₁=$\frac{1}{4}$OA，…，进而根据三角形面积得出S${\;}_{△{A}_{1}{B}_{1}O}$=$\frac{1}{2}$OB₁•A₁B₁=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$OB•$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{4}$S_△AOB=1
S${\;}_{△{A}_{2}{B}_{2}{B}_{1}}$=$\frac{1}{4}$S${\;}_{△{A}_{1}{B}_{1}O}$=$\frac{1}{4}$，S${\;}_{△{A}_{3}{B}^{3}{B}_{2}}$=$\frac{1}{4}$S${\;}_{△{A}_{2}{B}_{2}{B}_{1}}$=$\frac{1}{16}$，…，得出规律从而求得S_△AnBnBn-1=$\frac{1}{{4}^{n-1}}$．

解答 解：∵直线y=-$\frac{1}{2}$x+2与x轴交于点B，与y轴交于点A．
∴A（0，2），B（4，0），
∴OA=2，OB=4，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$OA•OB=$\frac{1}{2}$×2×4=4，
∵过线段AB的中点A₁做A₁B₁⊥x轴于点B₁，过线段A₁B的中点A₂作A₂B₂⊥x轴于点B₂，过线段A₂B的中点A₃作A₃B₃⊥x轴于点B₃…，
∴OB₁=BB₁=$\frac{1}{2}$OB，A₁B₁=$\frac{1}{2}$OA，B₁B₂=$\frac{1}{2}$BB₁=$\frac{1}{4}$OB，A₂B₂=$\frac{1}{2}$A₁B₁=$\frac{1}{4}$OA，…，
∴S${\;}_{△{A}_{1}{B}_{1}O}$=$\frac{1}{2}$OB₁•A₁B₁=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$OB•$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{4}$S_△AOB=1，
S${\;}_{△{A}_{2}{B}_{2}{B}_{1}}$=$\frac{1}{4}$S${\;}_{△{A}_{1}{B}_{1}O}$=$\frac{1}{4}$，
S${\;}_{△{A}_{3}{B}^{3}{B}_{2}}$=$\frac{1}{4}$S${\;}_{△{A}_{2}{B}_{2}{B}_{1}}$=$\frac{1}{16}$，
…，
∴S_△AnBnBn-1=$\frac{1}{{4}^{n-1}}$．
故选C．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形面积的比等于相似比的平方；解此题的关键是根据求出的结果得出规律，题型较好，但是有一定的难度．