Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，点，点，以为边在右侧作正方形

（1）当点在轴正半轴上运动时，求点的坐标（用表示）；

（2）当时，如图2，为上一点，过点作，，连交于点，求的值；

（3）如图3，在第（2）问的条件下，、分别为、上的点，作轴交于，作轴交于，是与的交点，若，试确定的大小，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）C（m+4，m）；（2）4；（3）45°，证明见解析

【解析】

（1）如图1中，作CE⊥x轴于E．利用全等三角形的性质即可解决问题；

（2）如图2中，作ME⊥y轴于E，作MF∥OA交OD于F．构造平行四边形，全等三角形解决问题即可；

（3）如图3中，延长CO到M，使得OM=DE．则△AOM≌△ADE．设AG=a，AH=b，由题意DE=a，OF=b，EK=DH=4-b，EC=OG=4-a，利用勾股定理想办法证明EF=OF+DE=FM，再证明△AFM≌△AFE，可得∠FAM=即可解决问题．

解：（1）如图1中，作CE⊥x轴于E．

∵∠AOB=∠ABC=∠CEB=90°，

∴∠ABO+∠OAB=90°，∠ABO+∠CBE=90°，

∴∠OAB=∠CBE，∵AB=BC，

∴△ABO≌△BCE，

∴CE=OB=m，BE=OA=4，

∴C（m+4，m）．

（2）如图2中，作ME⊥y轴于E，作MF∥OA交OD于F．

∵∠MEP=∠MPC=∠COP=90°，

∴∠MPE+∠PME=90°，∠MAE+∠CPO=90°，

∴∠PME=∠CPO，∵PM=PC，

∴△MEP≌△OPC，

∴PE=OC=AO，EM=OP，

∴OP=AE=EM，

∴∠EAM=45°，∵∠AOD=45°，

∴∠EAM=∠AOD，

∴AM∥ON，∵OA∥MF，

∴四边形AMFO是平行四边形，

∴FM=OA=CD，MF∥CD，AM=OF，

∴∠NDC=∠NFM，∵∠MNF=∠CND，

∴△CDN≌△MFN，

∴FN=DN，

∴AM+2DN=OF+DF=OD=4．

（3）如图3中，延长CO到M，使得OM=DE．则△AOM≌△ADE．

设AG=a，AH=b，由题意DE=a，OF=b，EK=DH=4-b，EC=OG=4-a，

∵S四边形KFCE=2S四边形AGKH，

∴（4-a）（4-b）=2ab，

∴16-4（a+b）+ab=2ab，

∴ab=16-4（a+b），

∴2ab=32-8（a+b），

在Rt△EFC中，EF=

∴EF=OF+DE=OF+OM=FM，

∵AF=AF，AM=AE，

∴△AFM≌△AFE，

∴∠FAM=∠FAE，

∵∠DAE=∠OAM，

∴∠EAM=∠DAO=90°，

∴∠EAF=45°．