Question

8．利用一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系，解答下面两个问题：
（1）已知x₁、x₂是方程x²-3x=2的两个实数根，求$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}^{\;}}$的值；
（2）已知在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，且a、b是一元二次方程x²-8x+10=0的两个实数根，求c的长．

Answer 1

分析 （1）将原方程变形为x²-3x-2=0，根据根与系数的关系可得出x₁+x₂=3、x₁•x₂=-2，再将$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$变形为$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$，代入数据即可得出结论；
（2）根据根与系数的关系可得出a+b=8、ab=10，结合勾股定理可得出c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，将$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$变形为$\sqrt{（a+b）^{2}-2ab}$，代入数据即可得出结论．

解答 解：（1）原方程可变形为x²-3x-2=0．
∵x₁、x₂是方程x²-3x=2的两个实数根，
∴x₁+x₂=3，x₁•x₂=-2，
∴$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$=$\frac{3}{-2}$=-$\frac{3}{2}$．
（2）∵a、b是一元二次方程x²-8x+10=0的两个实数根，
∴a+b=8，ab=10．
∵∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，
∴c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{（a+b）^{2}-2ab}$=$\sqrt{{8}^{2}-2×10}$=2$\sqrt{11}$．

点评 本题考查了根与系数的关系以及勾股定理，利用通分法将$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$变形为$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$以及利用配方法将$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$变形为$\sqrt{（a+b）^{2}-2ab}$是解题的关键．