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【题目】某商场试销一种商品,成本为每件200元,规定试销期间销售单价不低于成本单价,且获利不得高于50%,一段时间后,发现销售量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系如下表:

销售单价x(元)

230

235

240

245

销售量y(件)

440

430

420

410

(1)请根据表格中所给数据,求出y关于x的函数关系式;

(2)设商场所获利润为w元,将商品销售单价定为多少时,才能使所获利润最大?最大利润是多少?

【答案】(1)y与x的函数关系式为y=﹣2x+900;

(2)商品的销售单价定为300元时,才能使所获利润最大,最大利润时30000元.

【解析】

试题分析:(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b,利用待定系数法求得函数的解析式即可;

(2)先求得单价的定价范围,然后根据利润=每件获利×件数列出利润的函数关系式,然后根据自变量的取值和二次函数的对称性即可求得最大利润.

解:(1)根据所给数据可知y与x的图象是一条直线.设y与x的函数关系式为y=kx+b.

将x=230,y=440;x=235,y=430代入y=kx+b得:,解得:

y=﹣2x+900

经验证,x=240,y=420;x=245,y=410都满足上述函数关系式

y与x的函数关系式为y=﹣2x+900;

(2)由题意得:200≤x≤200×(1+50%),

200≤x≤300

W=(x﹣200)(﹣2x+900)=﹣2(x﹣325)2+31250

a=﹣2<0,

抛物线开口向下.

200≤x≤300,在对称轴x=325的左侧,

W随x的增大而增大.

当x=300时,W有最大值,W最大=﹣2×(300﹣325)2+31250=30000元.

答:商品的销售单价定为300元时,才能使所获利润最大,最大利润时30000元.

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