【题目】如图,抛物线:与轴交于、两点,与轴交于点,且,.若抛物线与抛物线关于直线对称.
(1)求抛物线与抛物线的解析式:
(2)在抛物线上是否存在一点,在抛物线上是否存在一点,使得以为边,且以、、、为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出、两点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1):,:;(2)满足条件的、两点的坐标为:,;;
【解析】
(1)用待定系数法求抛物线的解析式并配方成顶点式,得到抛物线的顶点坐标D;由抛物线与抛物线关于直线x=2对称可得两抛物线开口方向、大小相同,且两顶点关于直线x=2对称,因此求得抛物线的顶点,进而得到抛物线的顶点式.
(2)由于BC为边,以B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形,所以有两种情况:①BQ∥PC,BQ=PC;②BP∥CQ,BP=CQ.因为可把点B、C之间看作是向左(或右)平移3个单位,再向上(或下)平移3个单位得到,所以点P、Q之间也有相应的平移关系,故可由点P坐标(t,)的t表示点Q坐标,再把点Q坐标代入抛物线,解方程即求得t的值,进而求得点P、Q坐标.
解:(1)∵A(1,0)
∴OB=OC=3OA=3
∴B(3,0),C(0,3)
∵抛物线:经过点A、B、C
∴
解得:
∴抛物线的解析式为
∴抛物线的顶点D(1,4)
∵抛物线与抛物线关于直线x=2对称
∴两抛物线开口方向、大小相同,抛物线的顶点与点D关于直线x=2对称
∴(3,4)
∴抛物线的解析式为;
(2)存在满足条件的P、Q,使得以BC为边且以B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形.
设抛物线上的P(t,)
①若四边形BCPQ为平行四边形,如图,
∴BQ∥PC,BQ=PC
∴BQ可看作是CP向右平移3个单位,再向下平移3个单位得到的
∴Q(t+3,)
∵点Q在抛物线上
∴=
解得:t=2
∴P(2,3),Q(5,0)
②若四边形BCQP为平行四边形,如图,
∴BP∥CQ,BP=CQ
∴CQ可看作是BP向左平移3个单位,再向上平移3个单位得到的
∴Q(t3,)
∴
解得:t=
∴,,
综上所述,存在,;;,使得以BC为边且以B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形.
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【题目】如图,半圆O的直径AB=10,有一条定长为6的动弦CD在弧AB上滑动(点C、点D分别不与点A、点B重合),点E、F在AB上,EC⊥CD,FD⊥CD.
(1)求证:EO=OF;
(2)联结OC,如果△ECO中有一个内角等于45°,求线段EF的长;
(3)当动弦CD在弧AB上滑动时,设变量CE=x,四边形CDFE面积为S,周长为l,问:S与l是否分别随着x的变化而变化?试用所学的函数知识直接写出它们的函数解析式及函数定义域,以说明你的结论.
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【题目】如图,E、F分别为正方形ABCD的边AB、AD上的点,且AE=AF,联接EF,将△AEF绕点A逆时针旋转45°,使E落在E,F落在F,联接BE并延长交DF于点G,如果AB=,AE=1,则DG=______.
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【题目】某林业部门统计某种树苗在本地区一定条件下的移植成活率,结果如表:
移植的棵数 | 300 | 700 | 1000 | 5000 | 15000 |
成活的棵数 | 280 | 622 | 912 | 4475 | 13545 |
成活的频率 | 0.933 | 0.889 | 0.912 | 0.895 | 0.903 |
根据表中的数据,估计这种树苗移植成活的概率为_____(精确到0.1);如果该地区计划成活4.5万棵幼树,那么需要移植这种幼树大约_____万棵.
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【题目】定义:若自然数n使得三个数的加法运算“”产生进位现象,则称n为“连加进位数”.例如,2不是“连加进位数”,因为不产生进位现象;4是“连加进位数”,因为产生进位现象;51是“连加进位数”,因为产生进位现象.如果从0,1,…,99这100个自然数中任取一个数,那么取到“连加进位数”的概率是_______.
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【题目】某校为庆祝“五四青年节”,在2018年4月底组织该校学生举办了“传承五四精神共建和谐社土会”的演讲比赛.为了解学生在演讲比赛中的成绩情况,学校随机抽取了部分学生的演讲比赛成绩进行统计(满分:100分,等次:A.优秀:90~100分;B.良好:80﹣89分;C.一般:60﹣79分;D.较差:60分以下,不含60分)得到如下不完整的图表:
等次 | 频数 | 频率 |
A | a | 0.25 |
B | b | 0.5 |
C | 3 | m |
D | 2 | 0.1 |
根据以上信息解答下列问题
(1)表中a=_____,b=_____,m=_______,并补全频数分布直方图;
(2)根据抽查学生演讲成绩频数统计表制作的扇形统计图中,表示C等次部分的扇形中心角的度数是_______;
(3)若A等次中有2名女生,其余为男生,学校准备从A等次学生中抽取2名学生组成演讲组合参加全市“五四青年杯”演讲比赛,求恰好抽取1名男生和1名女生的概率.
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【题目】假期小颖决定到游泳馆游泳,游泳馆门票有两种:种是每天购票进馆,没有优惠;种是每月先购买贵宾卡,持贵宾卡购票每张可减少8元.设小颖游泳次,(元)是按种购票方案的费用,(元)是按种购票方案的费用根据图中信息解答问题:
(1)按种方案购票,每张门票价格为 元;
(2)按种方案购票,求与的函数解析式;
(3)如果小颖假期30天,每天都到游泳馆游泳一次,通过计算她选择哪种购票方案比较合算.
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【题目】如图,斜坡AB长10米,按图中的直角坐标系可用y=x+5表示,点A,B分别在x轴和y轴上.在坡上的A处有喷灌设备,喷出的水柱呈抛物线形落到B处,抛物线可用y=x2+bx+c表示.
(1)求抛物线的函数关系式(不必写自变量取值范围);
(2)求水柱离坡面AB的最大高度;
(3)在斜坡上距离A点2米的C处有一颗3.5米高的树,水柱能否越过这棵树?
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