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【题目】如图,在矩形ABCD中,EAB边上一点,EC平分∠DEBFCE的中点,连接AFBF,过点EEHBC分别交AFCDGH两点.

(1)求证:DE=DC

(2)求证:AFBF

(3)当AFGF=28时,请直接写出CE的长.

【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)

【解析】

试题(1)根据平行线的性质以及角平分线的定义,即可得到DCE=∠DEC,进而得出DE=DC

(2)连接DF,根据等腰三角形的性质得出DFC=90°,再根据直角三角形斜边上中线的性质得出BF=CF=EF=EC,再根据SAS判定ABFDCF,即可得出AFB=∠DFC=90°,据此可得AFBF

(3)根据等角的余角相等可得BAF=∠FEH,再根据公共角EFG=∠AFE,即可判定EFGAFE,进而得出EF2=AFGF=28,求得EF=,即可得到CE=2EF=

试题解析:解:(1)∵四边形ABCD是矩形,ABCD,∴∠DCE=∠CEB,∵EC平分DEB,∴∠DEC=∠CEB,∴∠DCE=∠DEC,∴DE=DC

(2)如图,连接DF,∵DE=DCFCE的中点,DFEC,∴∠DFC=90°,在矩形ABCD中,AB=DC,∠ABC=90°,∴BF=CF=EF=EC,∴∠ABF=∠CEB,∵∠DCE=∠CEB,∴∠ABF=∠DCF,在ABFDCF中,BF=CF,∠ABF=∠DCFAB=DC,∴ABFDCF(SAS),∴∠AFB=∠DFC=90°,∴AFBF

(3)CE=.理由如下:AFBF,∴∠BAF+∠ABF=90°,∵EHBC,∠ABC=90°,∴∠BEH=90°,∴∠FEH+∠CEB=90°,∵∠ABF=∠CEB,∴∠BAF=∠FEH,∵∠EFG=∠AFE,∴EFGAFE,∴,即EF2=AFGF,∵AFGF=28,∴EF=,∴CE=2EF=

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