Question

已知抛物线y=x²+bx+c经过x轴上点A（-2，0），B（4，0），与y轴交于点C．
（1）求a、b的值；
（2）试判断△BOC的外接圆P与直线AC的位置关系，并说明理由；
（3）将△AOC绕点O旋转一周，旋转过程中，AC对应的直线平行于BC，试求旋转后对应的点A的坐标．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=x²+bx+c经过A（-2，0），B（4，0），
∴，
解得；

（2）直线AC与⊙P相交．
理由如下：由（1）可知，抛物线的解析式为y=x²-bx-4，
令x=0，则y=-4，
所以，点C的坐标为（0，-4），
∵A（-2，0），B（4，0），
∴OA=2，OB=OB=4，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
BC是△BOC的外接圆P的直径，
∵tan∠ACO===，
∴∠ACO＜45°，
∴∠ACB＜90°，
∵点C在⊙P上，
∴直线AC与⊙P相交；

（3）如图，设△AOC旋转得到△A′OC′，A′C′交x轴于E，
∵A′C′∥BC，
∴∠A′EO=∠OBC=45°，
过点O作OD⊥A′C′于D，则△ODE是等腰直角三角形，
根据勾股定理，AC==2，
S_△AOC=×2•OD=×2×4，
解得OD=，
∴DE=OD=，
OE=×=，
又∵tcos∠A′==，
即=，
解得A′D=，
∴A′E=A′D+DE=+=，
过点A′作AF⊥x轴于F，
∵∠A′EO=45°，
∴△A′EF是等腰直角三角形，
∴A′F=EF=×=，
∴OF=OE-EF=-=，
∴点A′的坐标为（-，），
当点A旋转到第四象限时，与A′关于原点对称，
点A的对应点的坐标为（，-），
综上所述，旋转后对应的点A的坐标为（-，）或（，-）．
分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线，然后解关于b、c的二元一次方程组即可；
（2）利用抛物线解析式求出点C的坐标，从而判断出△BOC是等腰直角三角形，然后得到BC是△BOC外接圆的直径，再利用锐角的正切值求出∠ACO＜45°，从而求出直线AC与⊙P相交；
（3）设△AOC旋转得到△A′OC′，A′C′交x轴于E，根据两直线平行，内错角相等可得∠A′EO=∠OBC=45°，过点O作OD⊥A′C′于D，可得△ODE是等腰直角三角形，利用勾股定理列式求出AC的长，再根据三角形的面积列式求出OD，从而求出DE、OE，利用∠A′的余弦值求出A′D，然后求出A′E的长，过点A′作AF⊥x轴于F，判断出△A′EF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出A′F、EF，再求出OF，然后写出点A′的坐标即可；当点A旋转到第四象限时与点A′关于原点对称．
点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，直线与圆的位置关系的判定，旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小的性质，（3）难度较大，作辅助线构造出等腰直角三角形是解题的关键．