Question

2．已知二次函数y=mx²-（m+2）x+2（m≠0）．
（1）求证：此二次函数的图象与x轴总有交点；
（2）如果此二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标都是整数，求正整数m的值．

Answer 1

分析 （1）令y=0，使得二次函数变为一元二次方程，然后求出方程中△的值，即可证明结论；
（2）令y=0，使得二次函数变为一元二次方程，然后对方程分解因式，又因此二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标都是整数，从而可以求得符合要求的正整数m的值．

解答 解：（1）证明：∵二次函数y=mx²-（m+2）x+2（m≠0），
∴当y=0时，0=mx²-（m+2）x+2（m≠0），
△=[-（m+2）]²-4×m×2=m²+4m+4-8m=m²-4m+4=（m-2）²≥0
∴0=mx²-（m+2）x+2（m≠0）有两个实数根，
即二次函数y=mx²-（m+2）x+2（m≠0）的图象与x轴总有交点；
（2）∵二次函数y=mx²-（m+2）x+2（m≠0），
∴当y=0时，0=mx²-（m+2）x+2=（mx-2）（x-1），
∴${x}_{1}=\frac{2}{m}，{x}_{2}=1$，
又∵此二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标都是整数，
∴正整数m的值是：1或2，
即正整数m的值是1或2．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是建立二次函数与一元二次方程之间的关系，然后找出所求问题需要的条件．