Question

已知x₁，x₂（x₁＞x₂）是关于x的方程x²-（2k+1）x+k²+k=0的两根
（1）求证：不论k取何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若3x₁+x₂²=7，求k的值．

Answer 1

分析：（1）要证明不论k取何实数，方程总有两个不相等的实数根，就是要证明△＞0，而△=（2k+1）²-4（k²+k）=1，即可证明；
（2）由△=1，易求得方程的解为x=

2k+1±1

2

，由于x₁＞x₂，所以x₁=k+1，x₂=k，然后把x₁=k+1，x₂=k代入3x₁+x₂²=7，得k²+3k-4=0，最后求k的一元二次方程的解即可．

解答：解：（1）∵△=（2k+1）²-4（k²+k）=1，即△＞0，
∴不论k取何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）利用求根公式解方程，x=

2k+1±1

2

，由于x₁＞x₂，所以x₁=k+1，x₂=k，
∵3x₁+x₂²=7，
∴3（k+1）+k²=7，即k²+3k-4=0，（k+4）（k-1）=0，k₁=-4，k₂=1；
所以k的值为-4或1．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b²-4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．