Question

如图，在平面直角坐标系不，已知一次函数y=

3

4

x+m的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，且与函数y=x+2的图象在第一象限交于点C（4，n），CD⊥x轴于点D．
（1）求m、n值；
（2）如果点P在x轴上，并在AD之间，点Q在线段AC上，且AP=CQ，那么当△APQ与△ADC相似时，求点Q的坐标．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）把点C代入y=x+2可求得n，得出点C的坐标，再把C点坐标代入y=

3

4

x+m可求出m的值；
（2）根据△APQ∽△ADC，然后根据相似比求解．

解答：解：（1）∵C点在函数y=x+2的图象上，
∴n=4+2=6，
∴C点坐标为（4，6），且C点也在一次函数y=

3

4

x+m的图象上，
∴6=

3

4

×4+m，
解得m=3；
（2）∵当x=0时，y=3；当y=0时，x=-4，
∴y=

3

4

x+3与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点B（0，3），
设AP=CQ=t，
∵C（4，6），CD⊥x轴，
∴AD=8，CD=6，
∴AC=10，
∴AQ=10-t，
∵△APQ与△ADC相似，且∠A=∠A，
∴

AP

AQ

=

AD

AC

或

AP

AQ

=

AC

AD

，
即

t

10-t

=

8

10

或

t

10-t

=

10

8

，
∴t=

40

9

或t=

50

9

，
∵点Q在直线 y=

3

4

x+3上，
∴设Q（x，

3

4

）（-4＜t＜4），作QH⊥x轴，则AH=x+4，

∵QH∥CD，
∴

AH

AD

=

AQ

AC

，即

x+4

8

=

10-t

10

，
当t=

40

9

时，

x+4

8

=

10- 40 9

10

，解得x=

4

9

，Q坐标为（

4

9

，

10

3

），
当t=

50

9

时，

x+4

8

=

10- 50 9

10

，解得x=-

4

9

，Q坐标为（-

4

9

，

8

3

），
综上所述，Q点的坐标为（

4

9

，

10

3

）、（-

4

9

，

8

3

）．

点评：本题主要考查一次函数和相似三角形的综合应用，第（2）问中只有相似没有对应，所以要进行分类讨论是解题的关键．