Question

如图：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，P为AB上一点，Q为BC上一点，且PQ⊥AB，若△BPQ的面积等于四边形APQC的面积的

1

4

，AB=5cm，PB=2cm，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：首先证明△ABC∽△QBP，运用相似三角形的性质求出线段BC的长度，根据勾股定理求出AC的长度即可解决问题．

解答：解：∵∠ACB=90°，且PQ⊥AB，
∴∠C=∠BPQ；而∠B=∠B，
∴△ABC∽△QBP，
∴

S△ABC

S△QBP

=(

BC

BP

)2；
又∵△BPQ的面积等于四边形APQC的面积的

1

4

，
∴(

BC

BP

)2=5，而BP=2，
∴BC=2

5

；由勾股定理得：
AC2=52-(2

5

)2，
∴AC=

5

，
∴△ABC的面积=

1

2

×2

5

×

5

=5（cm²）．

点评：该题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是深入把握题意，找准图形中隐含的等量关系，正确求解论证．