Question

20．在平面直角坐标系xOy中，有如下定义：若直线l和图形W相交于两点，且这两点的距离等于定值k，则称直线l与图形W成“k相关”，此时称直线与图形W的相关系数为k．
若图形W是由A（-2，-1），B（2，-1），C（2，1），D（-2，1）顺次连线而成的矩形：
（1）如图1，直线y=x与图形W相交于点M，N．直线y=x与图形W成“k相关”则k值即为线段MN的长度，则k=2$\sqrt{2}$；
（2）若一条直线经过点（0，1）且与W成“$\sqrt{5}$相关”，请在图2中画出一条满足题意的直线，并求出它的解析式；
（3）若直线y=mx+b（m≠0）与直线y=$\sqrt{3}$x平行且与图形W成“k相关”，当k≥2时，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由点A、B、C、D的坐标可得出直线AB、CD的解析式，进而可求出点M、N的坐标，利用两点间的距离公式即可得出k的值；
（2）借助于勾股定理可得出该直线与图形W的另一交点坐标，利用待定系数法即可求出该直线的解析式；
（3）由直线y=mx+b（m≠0）与直线y=$\sqrt{3}$x平行可得出m=$\sqrt{3}$，借助于勾股定理可得出符合题意的临界直线分别经过点（-1，1）、（1，-1），根据点的坐标利用待定系数法即可求出b值，结合图形即可得出结论．

解答 解：（1）∵A（-2，-1），B（2，-1），C（2，1），D（-2，1），
∴直线CD的解析式为y=1，直线AB的解析式为y=-1．
∵直线y=x与图形W相交于点M，N，
∴点M的坐标为（1，1），点N的坐标为（-1，-1），
∴MN=$\sqrt{（-1-1）^{2}+（-1-1）^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
故答案为：2$\sqrt{2}$．
（2）∵一条直线经过点（0，1）且与W成“$\sqrt{5}$相关”，
∴该直线经过点（-2，0）、（-1，-1）、（1、-1）或（2，0）（如图2所示）．
设该直线的解析式为y=ax+1，
当该直线过点（-2，0）时，有0=-2a+1，解得：a=$\frac{1}{2}$，此时该直线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+1；
当该直线过点（-1，-1）时，有-1=-a+1，解得：a=2，此时该直线的解析式为y=2x+1；
当该直线过点（1，-1）时，有-1=a+1，解得：a=-2，此时该直线的解析式为y=-2x+1；
当该直线过点（2，0）时，有0=2a+1，解得：a=-$\frac{1}{2}$，此时该直线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+1．
（3）∵直线y=mx+b（m≠0）与直线y=$\sqrt{3}$x平行，
∴m=$\sqrt{3}$．
∵k≥2，
∴符合题意的临界直线分别经过点（-1，1），（1，-1）（如图3，借助勾股定理可求出EF=GH=2）．
当直线y=$\sqrt{3}$x+b过点（-1，1）时，有1=-$\sqrt{3}$+b，
解得：b=1+$\sqrt{3}$；
当直线y=$\sqrt{3}$x+b过点（1，-1）时，有-1=$\sqrt{3}$+b，
解得：b=-1-$\sqrt{3}$．
∴当k≥2时，b的取值范围为-1-$\sqrt{3}$≤b≤1+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了待定系数法求一次函数解析式、两点间的距离公式、两直线平行或相交、勾股定理以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）求出点M、N的坐标；（2）找出该直线与图形W的另一交点坐标；（3）找出符合题意的临界直线分别经过点（-1，1），（1，-1）．