Question

在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D是直线BC上一点，BD=1，将射线AD绕点A逆时针旋转45°得到射线AE，交直线BC于点E，则DE=________．

Answer 1

分析：先根据直角三角形的性质得到BC=AB=4，∠ABC=∠ACB=45°，AH=BH=BC=2，然后讨论：当点D在线段BC上，则DH=BH-BD=2-1=1，DC=BC-BD=4-1=3，利用勾股定理可计算出AD=，易得△DAE∽△DCA，则DA：DC=DE：DA，即：3=DE：，得到DE=；当点D在线段CB的延长线上，同样的方法可计算出DE=．
解答：过A作AH⊥BC与H，
∵∠BAC=90°，AB=AC=2，
∴BC=AB=4，∠ABC=∠ACB=45°，
∴AH=BH=BC=2，
当点D在线段BC上，如图．
∵BD=1，
∴DH=BH-BD=2-1=1，DC=BC-BD=4-1=3，
在Rt△AHD中，AD==，
∵射线AD绕点A逆时针旋转45°得到射线AE，
∴∠DAE=45°，
而∠ADE=∠CDA，
∴△DAE∽△DCA，
∴DA：DC=DE：DA，即：3=DE：，
∴DE=；
当点D在线段CB的延长线上，如图，
∵DB=1，
∴DH=BH+BD=2+1=3，DC=BC+BD=4+1=5，
在Rt△AHD中，AD==，
∵射线AD绕点A逆时针旋转45°得到射线AE，
∴∠DAE=45°，
而∠ADE=∠CDA，
∴△DAE∽△DCA，
∴DA：DC=DE：DA，即：5=DE：，
∴DE=，
故答案为或．
点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；对应点到旋转中心的距离相等．也考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质以及相似三角形的判定与性质．