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    4．在?ABOC中，AO⊥BO，且AO=BO．以AO、BO所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系，已知B（-6，0），直线y=3x+b过点C且与x轴交于点D．
    （1）求点D的坐标；
    （2）点E为y轴正半轴上一点，当∠BED=45°时，求直线EC的解析式；
    （3）在（2）的条件下，设直线EC与x轴交于点F，ED与AC交于点G．点P从点O出发沿折线OF-FE运动，在OF上的速度是每秒2个单位，在FE上的速度是每秒$\sqrt{2}$个单位．在运动过程中直线PA交BE于H，设运动时间为t．当以E、H、A为顶点的三角形与△EGC相似时，求t的值．

    分析 （1）由平行四边形的性质求出点C的坐标，把C的坐标代入y=3x+b，可求出直线CD的解析式，从而求出D的坐标；
    （2）求出直线ED和OC的交点M，可得到M为等腰直角三角形OAC的中点，连结AM，算出AB，AM的长，通过△BAE∽△EAM，求出AE的长，进而求得点E的坐标，再求出直线EC的解析式；
    （3）分两种情况：①P在OF上运动，容易求出∠HEA=∠GEC，要使△EHA与△EGC相似，只要∠HAE=∠GCE=45°即可，当∠HAE=45°时，有∠OAP=∠HAE=45°，得到△AOP为等腰直角三角形，从而求出t的值；
    ②P在EF上运动，容易求出∠HEA=∠GEC，要使△EHA与△EGC相似，只要∠AHE=∠GCE=45°即可，当∠AHE=45°时，由∠HEI=45°，得到∠HIE=90°，故AP⊥ED，求出直线AP的解析式，再求出直线AP与EF得交点P的坐标，用两点间的距离公式算出EP的长，从而得出PF的长，分别算出P在OF上运动的时间与P在FE上运动的时间，两者相加，得到t的值．

    解答 解：（1）∵B（-6，0），
    ∴OB=6，
    ∵AO=BO，
    ∴AO=6，
    ∵四边形ABCD是平行四边形ABOC，
    ∴AC=BO=6，
    ∴C（6，6），
    ∵直线过y=3x+b点C，
    ∴6=3×6+b
    ∴b=-12，
    ∴直线CD的解析式为：y=3x-12，在y=3x-12中，令y=0，
    解得：x=4，
    ∴D（4，0）；
    （2）设E（0，t），t＞0，即EO=t，
    ∵∠BEO+∠OED=45°，
    ∴tan∠BEO=$\frac{BO}{t}$=$\frac{6}{t}$，tan∠OED=$\frac{OD}{t}=\frac{4}{t}$，
    ∴tan（∠BEO+∠OED）=tan45°=1=$\frac{tan∠BEO+tan∠OED}{1-tan∠BEO•tan∠OED}=\frac{10t}{{t}^{2}-24}$，
    ∴t=12，t=-2（舍），
    ∴E（0，12），
    ∵C（6，6），
    ∴直线EC的解析式为：y=-x+12； 
    （3）分两种情况：①当P在OF上运动时，
    ∵直线EC的解析式为：y=-x+12，令y=0，得：x=12，
    ∴OF=OE=12，∴∠OFE=45°，
    ∵AC∥OB，
    ∴∠ACE=∠OFE=45°，
    ∴∠CEG+∠AEG=45°，
    ∵∠BAD=45°，
    ∴∠HEA=∠GEC，
    要使△EHA与△EGC相似，只要∠HAE=∠GCE=45°即可．当∠HAE=45°时，∠OAP=∠HAE=45°，
    ∴△AOP为等腰直角三角形，
    ∴OP=OA=6，
    即t=6÷2=3；
    ②当P在EF上运动时，由①可知，△EHA与△EGC中，∠HEA=∠GEC，∠GCE=45°，
    ∴只需要∠EHA=45°即可．当∠EHA=45°时，
    ∵∠HEI=45°，
    ∴∠HIE=90°，
    ∵AP⊥ED，
    ∴直线AP的解析式为：y=$\frac{1}{3}$x+n，
    把A（0，6）代入，得：n=6，
    ∴直线AP的解析式为：y=$\frac{1}{3}$x+6，
    联立方程：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x+6}\\{y=-x+12}\end{array}\right.$，
    解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=4.5}\\{y=7.5}\end{array}\right.$，
    ∴P（4.5，7.5），
    ∴EP=$\frac{9\sqrt{2}}{2}$，
    ∵EF=$\sqrt{2}$OE=12$\sqrt{2}$，
    ∴FP=12$\sqrt{2}$-$\frac{9\sqrt{2}}{2}$=$\frac{15\sqrt{2}}{2}$，
    ∴点P从O到P所用的时间=12÷2+$\frac{15\sqrt{2}}{2}$÷$\sqrt{2}$=$\frac{27}{2}$．

    点评 本题考查了相似形综合题，用到的知识点有相似三角形的判断和性质、平行四边形的性质、利用待定系数法求一次函数的解析式、等腰直角三角形的判断和性质，题目的综合性较强难度较大，对学生的解题能力较强很高，解题的关键是利用分类讨论的数学思想，争取做到解题补充不漏．

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