Question

9．如图，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动（P点停止移动时，点Q也停止移动）．设移动时间为t（s），问
（1）四边形APDQ的形状可能为矩形吗？如果能，求出t的值；若不能，请说明理由；
（2）当t为何值时，P、Q两点间距离是10cm？
（3）分别连接DP、CP，△DPC可能为直角三角形吗？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用矩形的性质得出当AP=DQ时，四边形APQD为矩形求出即可；
（2）设当t秒时PQ=10cm，利用勾股定理得出即可；
（3）要使△PCD为直角三角形，必有点P到线段中点距离等于CD的一半即可解决问题．

解答 解：（1）四边形APDQ的形状有可能为矩形；
理由：如图，

当四边形APQD为矩形，则AP=DQ，
即3t=16-2t，
解得：t=$\frac{16}{5}$．
答：当$\frac{16}{5}$秒时四边形APQD为矩形；
解：（2）如图1，过点Q作ON⊥AB于点N，
设当t秒时PQ=10cm，
则QC=2t，PN=16-5t，
故6²+（16-5t）²=100，
解得：t₁=$\frac{8}{5}$，t₂=$\frac{24}{5}$，
答：$\frac{8}{5}$秒或$\frac{24}{5}$秒时点P和点Q之间的距离是10cm；
（3）△DPC有可能为直角三角形，
理由：如图2，过矩形的边CD中点M作MN⊥AB，连接PM，
∴MN=AD=6，AN=$\frac{1}{2}$AB=8，
要使△DPC为直角三角形，
∴PM=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$AB=8，
在Rt△PMN中，PN²=PM²-MN²，
∴PN²=64-36=28，
∴PN=2$\sqrt{7}$，
由运动知，AP=3t，
∴PN=|AP-AN|=|3t-8|=2$\sqrt{7}$，
∴t=$\frac{8±2\sqrt{7}}{3}$．
即：时间为$\frac{8±2\sqrt{7}}{3}$．时，△PCD是直角三角形．

点评 此题是四边形的综合题，主要考查矩形的判定，勾股定理，直角三角形的性质，解本题的关键是得出点P到线段CD中点的距离等于CD的一半．