Question

已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB=AD，BC=CD．
（1）若∠B=90°，AB=6，BC=2

3

，求∠A的值；
（2）若∠BAD+∠BCD=180°，cos∠DCE=

3

5

，求

AB

BC

的值．

Answer 1

分析：（1）连接AC，然后利用边边边证明△ABC与△ADC全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAC=∠DAC，再利用锐角∠BAC的正切值求出∠BAC的度数，∠A=2∠BAC；
（2）方法一：根据四边形的内角和与全等三角形对应角相等求出∠ABC=∠ADC=90°，延长AD交BE于点F，可以得到△ABF与△CDF相似，再根据cos∠DCE=

3

5

设DC=3k，表示出CF=5k，DF=4k，BC=3k，然后根据相似三角形对应边成比例求出

AB

CD

的值，也就是

AB

BC

；
方法二：作DF⊥BE，垂足为F，DG⊥AB，垂足为G，连接AC，根据四边形的内角和与全等三角形对应角相等求出∠ABC=∠ADC=90°，然后证明△AGD与△CFD相似，再根据cos∠DCE=

3

5

，设DC=5k，表示出CF=3k，DF=4k，AG=AB-4k=AD-4k，然后根据相似三角形对应边成比例列出比例式

AG

CF

=

AD

DC

，代入数据进行计算即可求出AD的值，最后代入数据进行计算即可得解．

解答：（1）解：连接AC，
在△ABC与△ADC中，

AB=AD BC=CD AC=AC

，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC=∠DAC，
在Rt△ABC中，
tan∠BAC=

BC

AB

=

3

3

，
∴∠BAC=30°，
∴∠BAD=2∠BAC=60°；

（2）解法一：由（1）得，
△ABC≌△ADC，
∴∠ABC=∠ADC，BC=CD，
∵∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
延长AD交BE与F，
∴∠DCF=∠BAF，
∴Rt△ABF∽Rt△CDF，
∵cos∠DCE=

3

5

，
∴设DC=3k，则CF=5k，DF=4k，BC=3k，
∴

AB

CD

=

BF

DF

=

8k

4k

=2，
∴

AB

BC

=2；

解法二：作DF⊥BE，垂足为F，作DG⊥AB，垂足为G，
∵∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
连接AC，
又∵△ABC≌△ADC，
∴∠ABC=∠ADC，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
∴四边形BFDG是矩形，
∵∠DCF=∠BAD，
∴Rt△AGD∽Rt△CFD，
∴

AG

CF

=

AD

DC

，
∵cos∠DCE=

3

5

，
∴设DC=5k，
则CF=3k，DF=4k，AG=AB-4k=AD-4k，
∴

AD-4k

3k

=

AD

5k

，
即5（AD-4k）=3AD，
解得AD=10k，
∴

AB

BC

=

AD

CD

=

10k

5k

=2．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理，解直角三角形的应用，是综合题，作出辅助线构造出全等三角形以及相似三角形是解题的关键．