Question

二次函数图象过A、C、B三点，点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且OB=OC．
（1）求二次函数的解析式；
（2）该二次函数在第一象限的图象上有一动点为P，且点P在移动时满足S_△PAB=10，求此时点P的坐标．

Answer 1

考点：待定系数法求二次函数解析式,二次函数的性质

专题：

分析：（1）根据A（-1，0），B（4，0），得OB=4，则OC=4，即点C的坐标为（0，4）．设图象经过A，C，B三点的二次函数的解析式为y=a（x-4）（x+1），根据点C（0，4）在图象上．可得出a=-1．从而得出所求的二次函数解析式为y=-（x-4）（x+1）．即y=-x²+3x+4．
（2）根据A、B的坐标求得AB的长，设P点的坐标为（x，-x²+3x+4），根据S_△PAB=10，列出方程，解方程即可求得x的值，进而求得坐标．

解答：解：（1）∵A（-1，0），B（4，0），
∴OB=4，
∴OC=4，即点C的坐标为（0，4）．
设图象经过A，C，B三点的二次函数的解析式为y=a（x-4）（x+1），
∵点C（0，4）在图象上．
∴4=a（0-4）（0+1），即a=-1．
∴所求的二次函数解析式为y=-（x-4）（x+1）．
即y=-x²+3x+4，
故二次函数解析式为y=-x²+3x+4．

（2）∵点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（4，0），
∴AB=5，
设P点的坐标为（x，-x²+3x+4），
∵S_△PAB=10，
∴

1

2

×5|-x²+3x+4|=10，
解得，x=3，或x=

3+ 41

2

，
∴P的坐标为（3，4）或（

3+ 41

2

，-4）．

点评：本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质，解答该题时，注意转化思想的应用．