Question

已知：Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）如图（1）以Rt△ABC的三边为直径的三个半圆面积分别表示为S₁、S₂、S₃，则：S₁、S₂、S₃之间有什么关系？证明你的结论．
（2）如图（2），将图（1）的面积为S₃的半圆沿斜边AB所在的直线翻折，翻折后的半圆恰好经过直角顶点C，若AB=5，AC=4，请你利用（1）中的结论求出图（2）中阴影部分的面积．

Answer 1

分析：（1）利用圆的面积公式表示出S1、S2、S3，然后根据勾股定理即可解答；
（2）利用（1）的结果，以及S_阴影=S₁+S₂+S_△ABC-S₃即可解答．

解答：解：（1）S₁=

1

2

π（

BC

2

）²=

π•BC2

8

，
同理，S₂=

π•AC2

8

，S₃=

πAB2

8

，
∵BC²+AC²=AB²，
∴S₁+S₂=S₃；

（2）S_阴影=S₁+S₂+S_△ABC-S₃=S_△ABC，
在直角△ABC中，BC=

AB2-AC2

=3，
则S_阴影=S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

×4×3=6．

点评：本题考查了勾股定理，以及圆的面积公式，正确证明S₁+S₂=S₃是关键．