Question

如图，已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，M是AC的中点，AD⊥BM于E，交BC于D点．
（1）求证：BD=2CD；
（2）若AM=

1

n

AC，其他条件不变，猜想BD与CD的倍数关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析：作CG⊥AC交AD的延长线于G，易证△ABE≌△CAG得到AM=CG，△EBD∽△GCD，因而求

BD

CD

的值的问题可以转化为求

BE

CG

，根据相似三角形的性质就可求解．

解答：解：①作CG⊥AD交AD的延长线于G，证△ABE≌△CAG．
∴AE=CG，易证△ABM∽△EBA，则EB：AE=AB：AM=2：1，
∴△EBD∽△GCD，
∴BD：DC=EB：CG=EB：AE=2：1，
∴BD=2CD．

②作CG⊥AD交AD的延长线于G，易证△ABE≌△CAG，
∴AE=CG，设等腰直角三角形ABC的边AB=AC=2a，则AM=MC=a．
在Rt△ABM中，根据勾股定理得到BM=

5

a，AE=CG=

AB•AM

BM

=

2 5

5

a，
∵BM⊥AD，CG⊥AD，
∴△AEM∽△AGC．
∴

EM

CG

=

AM

AC

=

1

n

，则EM=

1

n

•CG=

1

n

•

2 5

5

a，
∴BE=BM-EM=

5

a-

1

n

•

2 5

5

a=

5n-2

5n

5

a，
∴

BD

DC

=

BE

GC

=

5n-2

2n

．

点评：解决本题的关键是根据相似三角形的性质转化为另外两个线段的比的问题．