Question

12．已知线段AB∥CD，直线EF∥AB，若点P在直线EF上，连接PA、PC．
（1）如图1，直线EF在线段AB、CD之间，点P在中间位置时，写出∠A、∠C、∠APC三个角之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图2，直线EF在线段AB、CD之间，点P在偏左位置时，写出∠A、∠C、∠APC三个角之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，直线EF在线段AB上方，点P在偏左位置时，写出∠PAB、∠PCD、∠APC三个角之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）∠APC=∠A+∠C，利用两直线平行，内错角相等来证明；
（2）∠APC+∠A+∠C=360°，利用两直线平行，同旁内角互补来证明；
（3）∠PAB=∠PCD+∠APC，利用两直线平行，同旁内角互补来证明．

解答 解：（1）∠APC=∠A+∠C．
证明：∵线段AB∥CD，直线EF∥AB，
∴∠A=∠APE，∠C=∠CPE，
∵∠APC=∠APE+∠CPE，
∴∠APC=∠A+∠C．
（2）∠APC+∠A+∠C=360°．
证明：∵线段AB∥CD，直线EF∥AB，
∴∠A+∠APF=180°，∠C+∠CPF=180°，
∴∠A+∠APF+∠C+∠CPF=∠A+∠C+∠APC=360°
（3）∠PAB=∠PCD+∠APC．
证明：∵线段AB∥CD，直线EF∥AB，
∴∠APF+∠PAB=180°，∠CPF+∠PCD=180°，
∵∠APC=∠CPF-∠APF，
∴∠CPF+∠PCD-（∠APF+∠PAB）=（∠CPF-∠APF）+∠PCD-∠PAB=0°，
∴∠PAB=∠PCD+∠APC．

点评 本题考查了平行线的性质，解题的关键是：（1）两直线平行，内错角相等；（2）两直线平行，同旁内角互补；（3）两直线平行，同旁内角互补．本题属于基础题，难度不大，根据平行线的性质结合角之间的关系即可得以解决．