Question

【题目】在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为(－6，0)．如图1，正方形OBCD的顶点B在x轴的负半轴上,点C在第二象限．现将正方形OBCD绕点O顺时针旋转角α得到正方形OEFG．

（1）如图2，若α=60°,OE=OA，求直线EF的函数表达式．

（2）若α为锐角，tan=，当AE取得最小值时，求正方形OEFG的面积．

（3）当正方形OEFG的顶点F落在y轴上时，直线AE与直线FG相交于点P，△OEP的其中两边之比能否为？若能，求点P的坐标；若不能，试说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）P1(0,6)，P2(－6,18)，P3(－18,36)，P4(－6,0)，P5(－18,6)．

【解析】

试题分析：（1）如图1，易知△AEO为正三角形，E点坐标为E(﹣3,3)。在RT△EMO中用三角函数可求得M坐标，直线EF解析式即可求出．（2）无论正方形边长为多少，绕点O旋转角α后得到正方形OEFG的顶点E在射线OQ上，∴当AE⊥OQ时，线段AE的长最小，利用勾股定理可求得OE的长度，进而面积可求．（3）此题应分类讨论，当点F落在y轴正半轴时与负半轴两大类讨论．当点F落在y轴正半轴时，①当P与F重合时，△PEO是等腰直角三角形，此时易求P点坐标为（0,6），②点P在边FG延长线 上时，

存在和两种情况，利用图形可求得此时P坐标为（-6,18），（-18,36）．当点F落在y轴付半轴时，①P与A重合时，易求此时P点坐标为（-6,0），②当P在FG延长线上时，如图7，过P作PR⊥x轴于点R, 在Rt△OPG和Rt△PEF中，利用勾股定理可得到PG与OG的关系，PG=2OG，再根据△AOE∽△ANP可求得AN=6，可求得P点坐标（-18,6）．

试题解析：（1）如图1，过点E作EH⊥OA于点H，EF与y轴的交点为M．∵OE＝OA，α＝60°，∴△AEO为正三角形，∴OH＝3，EH＝＝3． ∴E(﹣3,3)．∵∠AOM＝90°，∴∠EOM＝30°．在Rt△EOM中，∵cos∠EOM＝ ，即＝ ，∴OM＝4．∴M(0，4)．设直线EF的函数表达式为y＝kx＋4， ∵该直线过点E(﹣3,3), ∴-3k+4=3,解得，所以，直线EF的函数表达式为．

（2）如图2，射线OQ与OA的夹角为α( α为锐角，tan=)．无论正方形边长为多少，绕点O旋转角α后得到正方形OEFG的顶点E在射线OQ上，∴当AE⊥OQ时，线段AE的长最小．在Rt△AOE中，设AE＝a，则OE＝2a，∴a2＋(2a)2＝62，解得a1＝，a2＝－(舍去),∴OE＝2a＝, ∴S正方形OEFG＝OE2=．

（3）设正方形边长为m．当点F落在y轴正半轴时．如图3，当P与F重合时，△PEO是等腰直角三角形，有或．在Rt△AOP中，∠APO＝45°，OP=OA=6,∴点P1的坐标为(0,6)．在图3的基础上，当减小正方形边长时，点P在边FG 上，△OEP的其中两边之比不可能为:1；当增加正方形边长时，存在（图4）和（图5）两种情况．如图4，△EFP是等腰直角三角形，有＝，即＝, 此时有AP∥OF．在Rt△AOE中，∠AOE＝45°，∴OE=OA＝6,∴PE＝OE＝12，PA=PE+AE=18,∴点P2的坐标为(－6,18)．如图5，过P作PR⊥x轴于点R，延长PG交x轴于点H．设PF=n．在Rt△POG中，PO2＝PG2＋OG2＝m2＋(m＋n) 2＝2m2＋2mn＋n2，在Rt△PEF中，PE2＝PF2＋EF2＝m 2＋n 2,当＝时，∴PO2＝2PE2． ∴2m2＋2mn＋n2=2(m 2＋n 2), 得n＝2m．∵EO∥PH，∴△AOE∽△AHP,∴,∴AH=4OA=24，即OH=18，∴m=9．在等腰Rt△PR H中，，∴OR=RH-OH=18，∴点P3的坐标为(－18,36)．当点F落在y轴负半轴时，如图6，P与A重合时，在Rt△POG中，OP＝OG， 又∵正方形OGFE中，OG=OE, ∴OP＝OE．∴点P4的坐标为(－6,0)．在图6的基础上，当正方形边长减小时，△OEP的其中两边之比不可能为:1；当正方形边长增加时，存在（图7）这一种情况．如图7，过P作PR⊥x轴于点R,设PG=n．在Rt△OPG中，PO2=PG2＋OG2＝n2＋m2，在Rt△PEF中，PE2＝PF2＋FE2＝(m+n ) 2＋m2＝2m2＋2mn＋n2．当＝时，∴PE2＝2PO2．∴2m2＋2mn＋n 2＝2n2＋2m2 ∴n=2m,由于NG=OG=m,则PN=NG=m,∵OE∥PN，∴△AOE∽△ANP, ∴,即AN=OA=6．在等腰Rt△ONG中，ON=m, ∴12=m， ∴m=6,在等腰Rt△PRN中，，∴点P5的坐标为(－18,6)．所以，△OEP的其中两边的比能为:1，点P的坐标是：P1(0,6)，P2(－6,18)，P3(－18,36)，P4(－6,0)，P5(－18,6)．