Question

7．如图，在△ABC中，AB=5cm，BC=8cm，AD为△ABC的外角平分线，且AD∥BC，点M从A出发，以1cm/s的速度沿射线AD匀速运动，同时点N以相同的速度从C出发沿CB匀速向点B运动，当点N到达B时，点M也停止运动．
（1）MN是否可以垂直平分AC，为什么？
（2）当t为何值时，△MNC为等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）由条件可证明四边形AMCN为平行四边形，当MN垂直AC时，则四边形AMCN为菱形，在△ABN中，利用三角形三边关系可得到t的范围，可知存在满足条件的t，可得出结论；
（2）用t表示出CN，分CM=CN，MN=CN和CM=MN三种情况分别讨论，得出关于t的方程，求解即可．

解答 解：（1）如图，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠C，∠EAD=∠B，
∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD=∠CAD，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC=5，
∵BC=8
∴cos∠C=$\frac{4}{5}$
如图，连接AN，CM，
∵M、N的速度相等，
∴AM=CN=t，且AM∥CN，
∴四边形AMCN为平行四边形，
当MN⊥AC时，$\frac{OC}{CN}$=$\frac{4}{5}$，OC=$\frac{5}{2}$，t=$\frac{25}{8}$
∴存在使四边形AMCN为菱形的时间t，即MN可以垂直平分AC；
（2）①由（1）可知，当四边形AMCN为菱形时，即CM=CN，此时t=$\frac{25}{8}$；
②当MN=NC时，如图


过A点作AG⊥BC于点G，过点M作MF⊥BC于点F，
由（1）知△ABC为等腰三角形，
∴BG=CG=4cm，
∵AD∥BC
∴四边形AGFM为矩形，
在Rt△ABG中由勾股定理得AG=3
∴AM=GF=t，AG=MF=3
若MN=NC=t
则NF=GF-（CG-NG）=t-（4-t）=2t-4；
在Rt△MNF中由勾股定理得：NF²+MF²=MN²
即（2t-4）²+3²=t²
整理得：3t²-16t+25=0，此方程无解
故不存在MN=NC；
③当MN=MC时，如图

过A点作AG⊥BC于点G，过点M作MF⊥BC于点F，
由（1）知△ABC为等腰三角形，
∴BG=CG=4cm，
∵AD∥BC
∴四边形AGFM为矩形，
在Rt△ABG中由勾股定理得AG=3
∴AM=GF=t，AG=MF=3
若MN=MC=t
则CF=$\frac{1}{2}$CN=$\frac{1}{2}$t
又CF=CG-FG=4-t
∴$\frac{1}{2}$t=4-t
解得：t=$\frac{8}{3}$
∴当t为$\frac{25}{8}$或$\frac{8}{3}$时△MNC为等腰三角形．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形内角和定理的应用，能得出关于x的方程是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，等边对等角．