Question

7．求符合下列条件的抛物线的关系式：
（1）将抛物线y=x²先向下平移2个单位长度，再沿直线y=-2对折；
（2）抛物线y=ax²-1过点（2，2）；
（3）抛物线y=ax²+c与y=$\frac{1}{2}$x²+3的开口大小相同，开口方向相反，且顶点为（0，1）．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的几何变换，抛物线y=x²先向下平移2个单位长度，所得抛物线解析式为y=x²-2，而抛物线y=x²-2沿直线y=-2对折，方向改变，顶点不变，易得对折后所得抛物线解析式为y=-x²-2；
（2）把（2，2）代入解析式求出a即可；
（3）根据二次函数的性质易得a=-$\frac{1}{2}$，c=1，从而得到抛物线解析式．

解答 解：（1）将抛物线y=x²先向下平移2个单位长度，所得抛物线解析式为y=x²-2，把抛物线y=x²-2沿直线y=-2对折所得抛物线解析式为y=-x²-2；
（2）把（2，2）代入y=ax²-1得4a-1=2，解得a=$\frac{3}{4}$，所以抛物线解析式为y=$\frac{3}{4}$x²-1；
（3）因为抛物线y=ax²+c与y=$\frac{1}{2}$x²+3的开口大小相同，开口方向相反，
所以a=-$\frac{1}{2}$，
而抛物线y=ax²+c的顶点为（0，1），则c=1，
所以抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+1．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．