Question

10．如图，在?ABCD中，点E为边BC的黄金分割点（BE＞EC），AE与BD相交于点F，求$\frac{EC}{AD}$的值．

Answer 1

分析 由平行四边形的性质可得BC=AD，再根据点E是边BC上的黄金分割点，得出BE：BC的值，再求出$\frac{EC}{BC}$的值，等量代换即可求出结果．

解答 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD，
∵点E为边BC的黄金分割点（BE＞EC），
∴BE：BC=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，即BE=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$BC，
∴EC=BC-BE=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$BC，
∴$\frac{EC}{BC}$=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，
∴$\frac{EC}{AD}$=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了黄金分割：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）叫做黄金比．也考查了平行四边形对边相等的性质．