Question

19．如图，点A，B，C在⊙O上，AB是⊙O的直径，AC=4，BC=3．
（1）求⊙O的半径；
（2）若点D在直径AB上，且AD=1.4，连接DC，过点B作BE∥CD交⊙O于点E，延长AB至F，使BF=$\frac{45}{7}$，请判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）先根据圆周角定理得到∠ACB=90°，再根据勾股定理可计算出AB=5，于是得到⊙O的半径为$\frac{5}{2}$；
（2）作CH⊥AB于H，EG⊥AB于G，连结AE，如图，利用面积法计算出CH=$\frac{12}{5}$，则可根据勾股定理计算出AH=$\frac{16}{5}$，所以DH=AH-AD=$\frac{9}{5}$，在Rt△CDH中根据勾股定理得CD=3，即由CB=CD，所以∠CBD=∠CDB，根据平行线的性质得∠DBE=∠BDC，则∠EBD=∠CBD，于是得到AE=AC=4，利用同样的方法计算出BE=3，EG=$\frac{12}{5}$，接着在Rt△OEG中，根据勾股定理计算出OG=$\frac{7}{10}$，然后证明△OGE∽△OEF，则∠OGE=∠OEF=90°，则根据切线的判定定理得到EF为⊙O的切线．

解答 解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，∵AC=4，BC=3，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
∴⊙O的半径为$\frac{5}{2}$；
（2）直线EF与⊙O相切．理由如下：
作CH⊥AB于H，EG⊥AB于G，连结AE，如图，
∵$\frac{1}{2}$CH•AB=$\frac{1}{2}$BC•AC，
∴CH=$\frac{3×4}{5}$=$\frac{12}{5}$，
在Rt△ACH中，AH=$\sqrt{A{C}^{2}-C{H}^{2}}$=$\frac{16}{5}$，
∴DH=AH-AD=$\frac{16}{5}$-1.4=$\frac{9}{5}$，
在Rt△CDH中，∵DH=$\frac{9}{5}$，CH=$\frac{12}{5}$，
∴CD=$\sqrt{D{H}^{2}+C{H}^{2}}$=3，
∴CB=CD，
∴∠CBD=∠CDB，
∵CD∥BE，
∴∠DBE=∠BDC，
∴∠EBD=∠CBD，
∴$\widehat{AE}$=$\widehat{AC}$，
∴AE=AC=4，
在Rt△ABE中，BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=3，
同样可得EG=$\frac{12}{5}$，
在Rt△OEG中，OG=$\sqrt{O{E}^{2}-E{G}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{5}{2}）^{2}-（\frac{12}{5}）^{2}}$=$\frac{7}{10}$，
OF=OB+BF=$\frac{5}{2}$+$\frac{45}{7}$=$\frac{125}{14}$，
∵$\frac{OG}{OE}$=$\frac{\frac{7}{10}}{\frac{5}{2}}$=$\frac{7}{25}$，$\frac{OE}{OF}$=$\frac{\frac{5}{2}}{\frac{125}{14}}$=$\frac{7}{25}$，
∴$\frac{OG}{OE}$=$\frac{OE}{OF}$，
而∠GOE=∠EOF，
∴△OGE∽△OEF，
∴∠OGE=∠OEF=90°，
∴OE⊥EF，
∴EF为⊙O的切线．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了相似三角形的判定与性质．