Question

4．已知：如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E．CM⊥AE，垂足是F，交AD于N，交AB于M，连接ME．
（1）求证：ME⊥BC；     
（2）若AB=$\sqrt{2}+1$，试求ME的长．

Answer 1

分析 （1）根据AE平分∠BAD，得到∠BAE=∠EAD，根据CM⊥AE，得到∠ACM=∠ECM，又CM=CM，从而得到△ACM≌△ECM（SAS）；     
（2）在Rt△ABC中，有AB=AC=$\sqrt{2}+1$，根据勾股定理求出BC的长，进求出BE、ME．

解答 解：（1）∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD，
又∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠EAC=90°-∠BAE；∠AED=90°-∠EAD，
∴∠EAC=∠AED
∴AC=CE，
∵CM⊥AE，
∴∠ACM=∠ECM，
  又CM=CM，
∴△ACM≌△ECM（SAS），
∴∠MEC=∠MAC=90°，
即ME⊥BC；      
（2）在Rt△ABC中，AB=AC=$\sqrt{2}+1$，
∴BC=$\sqrt{{（\sqrt{2}+1）}^{2}+{（\sqrt{2}+1）}^{2}}$=（$\sqrt{2}$+1）×$\sqrt{2}$=2+$\sqrt{2}$，
又∵CE=AC=$\sqrt{2}+1$，
∴BE=BC-CE=（$2+\sqrt{2}$）-（$\sqrt{2}+1$）=1，
∵ME⊥BC，∠B=45°，
∴∠BME=∠B，
∴ME=BE=1．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟悉全等三角形的性质、勾股定理的计算是解题的关键．